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第六章 数学基础——多项式矩阵理论 一、多项式矩阵 二、多项式矩阵的奇异与非奇异 三、多项式向量的线性相关与线性无关 四、多项式矩阵的秩 五、单模矩阵 六、初等变换 七、埃尔米特形 八、多项式矩阵的结构性质 九、史密斯形 一、多项式矩阵 1、多项式 其中：系数为实数域、自变量s为复频域。 多项式集合的属性为有理分式域。 2、多项式矩阵 定义：以多项式为元素组成的矩阵为多项式矩阵。 多项式矩阵是实数矩阵的扩展（实数阵为零次多项式矩阵）； 多项式矩阵的基本运算规则等效于实数矩阵的运算规则； 方多项式矩阵行列式为多项式。 记为： 二、多项式矩阵的奇异与非奇异 定义：若有方矩阵多项式 存在 则为奇异多项式矩阵。反之为非奇异多项式。 若 奇异，则在整个S复数域里有 存在。 若 非奇异，则在有限的S复数域里有 存在。 非奇异方矩阵 的逆： 三、多项式向量的线性相关与线性无关 1、定义： 2、应用举例 [例1]：若 确定向量的相关特性。 显然,不存在不全为零的多项式 能使上式 成立，所以两向量线性无关。 [例2]：若 确定向量的相 关特性。 所以，两向量线性相关。 3、线性相关与无关的特性 若方多项式矩阵Q(s)为奇异矩阵，则矩阵Q(s)中的行/列多项式向量组为线性相关；反之，则无关。 若n个列/行多项式向量组 线性无关,则对应的方多项式矩阵为非奇异。反之，则为奇异。 线性相关与无关和标量组 解的关系： 非零多项式解时的线性相关 非零实数解时也线性相关。 四、多项式矩阵的秩 1、定义：n x m 矩阵Q(s)秩为r的条件是至少有一个r x r的矩阵行列式不恒为零（即为s的有理多项式）,而所有(r+1) x(r +1) 的矩阵行列式都恒为零。 2、特性 秩的取值范围： 满秩和降秩：Q(s)满秩的条件是 Q(s)降秩的条件是 秩和线性无关/相关的关系: 若对于任意n x m非零多项式矩阵Q(s),有 则Q(s)中仅有r个线性无关的列/行向量。反命题成立。 若Q(s)为n个线性无关的n维列/行多项式向量构成的方多项式矩阵，则向量线性无关即矩阵满秩，反之亦然。 秩和奇异/非奇异的关系：非奇异矩阵多项式满秩而奇异矩阵多项式降秩。 线性非奇异变换不改变原多项式矩阵的秩 多项式矩阵乘积的秩： 五、单模矩阵 1、定义：方多项式矩阵Q(S)为单模矩阵的条件是detQ(S)为非零常数。 2、性质： 单模多项式矩阵的逆仍是多项式矩阵。 单模矩阵具有非奇异多项式矩阵的基本属性，但反命题不成立。 单模矩阵的乘积仍是单模矩阵。 单模矩阵的逆矩阵仍是单模矩阵。 六、对多项式矩阵 的初等变换 1、初等变换的分类 第一种初等变换——矩阵中的行与行/列与列所有元素对换 第二种初等变换——矩阵中的某行/列所有元素变增益 第三种初等变换——矩阵中的某行/列元素乘以多项式d(s)后加到另一行/列。 2、行初等变换的实施——左乘变换阵 3、列初等变换的实施——右乘变换阵 4、单模变换与初等变换 矩阵 中的行与行所有元素对换 已知 选择变换阵使第一行和第三 行所有元素对调。 取变换阵 左乘原矩阵， 得所需结果。 矩阵 中的列与列所有元素对换 矩阵 中的某行所有元素变增益c 矩阵 中的某列所有元素变增益c 矩阵中的某行元素乘以多项式d(s)后加到另一行 矩阵中的某列元素