振动理论 第1章 简谐振动.pptVIP

第1章 简谐振动 1．掌握描述简谐振动的特征量：振幅、周期、频率、角 频率、位相、初位相，能熟练确定以上各量。 2．掌握简谐振动的动力学、运动学和能量的基本特征。 3．掌握谐振动旋转矢量法。 4．掌握同一直线上两个同频率同振动方向恒定位相差的 谐振动合成，了解拍振动。 1.1 简谐振动 1.2 谐振动的合成 教学内容 一、弹簧振子 1. 受力特点 线性恢复力 2. 动力学微分方程 令 牛顿第二定律 1.1 简谐振动 解得 改写为 ? m 位移 速度 加速度 描述简谐振动的三个特征量 1. 振幅 A 2. 周期 T 和频率 v ? = 2?v = 2? /T 3. 相位 (?t+?) 是 t 时刻的相位 二、简谐振动 定义: 特点: (1)等幅振动 (2)周期振动 (1) ? 是 t =0 时刻的相位即初相 (2) 相位的意义 ? 相位已知则振动状态已知,相位没改变 2? 振动重复一次. ? 相位 2? 范围内变化,状态不重复. ? t x O A -A ?? = 2? ? 相位差 相位反映了物体某一时刻的运动状态 由初始条件求振幅和初相位 注意: 确定 ? 的象限 初位移 初速度 x0 v0 ? 三、以旋转矢量表示的简谐振动 ? o x t 时刻 t = 0 时刻 ? v 位置 速度 加速度 x a ?t 坐标 速度 加速度 谐振动物体 圆周运动小球 x 轴投影 o x t 时刻 t = 0 时刻 ? v x a ? t + ? 振幅 角频率 相位 谐振动物体 圆周运动小球 半径 角速度 与x 轴夹角 四、以复数表示的简谐振动 模为 A 的矢量 OP 旋转，其复数表示为： 根据欧拉公式 式（1）可表示为： 比较式（1）（2）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影. 在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其虚部. （1） （2） 例1. 物体沿x轴做谐振动，振幅为12cm，周期为2s，当t=0时，物体的坐标为6cm，且向x轴正方向运动，求： （1）初相； （2）t=0.5s时物体的坐标、速度和加速度； （3）物体在平衡位置，且向x轴负方向运动的时刻是计时的初 相，并写出运动方程。 例2：物理摆如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J。设 t = 0 时摆角向右最大为 ?0，求：振动频率和振动方程。 解 振动方程 当 ? 5° 时 角频率 t = 0 时摆角向右最大为 ?0 ，初相位 ? = 0 四、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能 2. 势能 3. 机械能 （简谐振动系统机械能守恒） m x O 平均动能 五、两个同频率振动的相位关系 相位差 两个振动 1. 超前和落后 t x x1 x2 x2 比 x1 超前?? (或 x1 比 x2 落后 ?? ) O 2. 同相和反相 ?? = ? 2k? 两振动步调相同, 称同相 x t o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T ?? = ?(2k+1)? 两振动步调相反 ,称反相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为 12 cm的两点A和B，历时 2 s，并且在A，B两点处具有相同的速率；再经过 2 s后，质点又从另一方向通过B点。 质点运动的周期和振幅。 A B 解法一 O x 周期 T = 4?2 = 8 质点在A，B 两处速率相同，因此两点对称 质点由A 到 B，以过原点为t=0 时刻，则v0 0，初相 ? = -?/2 ， 振动方程为 t=1 时，质点到 B 点，则 ? 振幅 求 A B O x T = 4?2 = 8 ? ? ? 质点由A 到 B，历时 2 s；再经 2 s，又通过B点 ? = ? + ? 质点由 B 再回到B 点，则? + ? 被 x 轴平分 ? = ? ? ? + ? + ? = ? 因此 ? = ?/4 ? 振幅 A B 解法二 1.2 谐振动的合成 一、同方向同频率谐振动的合成 1. 两个分振动 2. 合振动 讨论 (1) 若两个分振动同相, 即 ? 2?? 1= ? 2k? ( k = 0, 1, 2,…)， (2) 若两个分振动反相, 即 ? 2?? 1= ? (2k+1)? ( k = 0, 1, 2,…), 则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强。 则A=|A1?A2| , 两分振动相互减弱;当 A1=A2 时, A=0。 例 n 个同方向、同频率、同振幅的谐振动，它们的初相差依次为常量? 。 它们合振动的方程。 … 解 合振动 o R C x t