信号估值与检测 第六章.pptVIP

* 第六章 最佳滤波理论 最佳滤波理论包括维纳滤波理论、卡尔曼滤波理论等。 维纳滤波理论的发明者： 诺伯特·维纳（Norbert Wiener） 是美国应用数学家，控制论的创始人，在电子工程方面贡献良多。他是随机过程和噪声过程的先驱，又提出了“控制论”的一词。14岁大学毕业，18岁博士毕业。 卡尔曼滤波理论的发明者： 鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman） 匈牙利数学家 。经典论文： 《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 在第二次世界大战期间，为了解决防空火力控制和雷达噪声滤波问题，维纳综合运用了他以前几方面的工作，于1942年2月首先给出了从时间序列的过去数据推知未来的维纳滤波公式，建立了在最小均方误差准则下将时间序列外推进预测的维纳滤波理论。 维纳的这项工作为设计自动防空控制炮火等方面的预测问题提供了理论依据，并为评价一个通讯和控制系统加工信息的效率和质量从理论上开辟了一条途径。它对自动化技术科学有重要的影响。维纳在问题中引进统计因素并使用了自相关和互相关函数，事实证明这是极其重要的。维纳滤波模型在50年代被推广到仅在有限时间区间内进行观测的平稳过程以及某些特殊的外平稳过程，其应用范围也扩充到更多的领域，至今它仍是处理各种动态数据(如气象、水文、地震勘探等)及预测未来的有力工具之一。 维纳滤波理论产生的背景： 斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这种滤波器。 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。 卡尔曼滤波理论产生的背景： 维纳滤波器要求处理的信号是平稳随机过程，而且每次输出都要用到无限过去数据，限制了实时性。希望找到一种递推算法，满足实时性要求。 6.1 维纳滤波理论 设观测信号波形为： 设 0均值，协方差函数为 平稳高斯过程 0均值，协方差函数为 平稳高斯噪声 滤波器的实际输出 滤波器的期望输出 预测（外推） 平滑（内插） 滤波 目标：寻找一个线性系统，使实际输出 与期望输出 的均方误差： 最小化。 维纳滤波 。 一、稳态维纳滤波 滤波器的输入输出都是平稳过程，且输入输出联合平稳，系统参数不变，是时不变系统。 的均方误差： 目标：寻找一个最佳的 设，任意滤波器的冲激响应为： 为任意的扰动函数。 为实参量。 显然： 为最小值。 解得： 说明，最佳滤波器需要满足上述方程。 （1）物理不可实现维纳滤波器 滤波器任何时刻的输出不仅取决于当前的输入和以前的输入，而且还用到未来时刻的输入信号。 或 若 r(t) 平稳，r(t) 与 d(t) 联合平稳，则利用变量代换： 则 或 若 d(t)=s(t) ，s(t) 与 n(t) 统计独立，则 这个结果表明，在噪声功率谱小的地方，H0(ω) 较大，在噪声功率谱达的地方，H0(ω) 较小，从而消除噪声。 均方误差： 令τ=0 对Ked(τ)进行傅里叶变换有： 若 d(t)=s(t) ，s(t) 与 n(t) 统计独立，则 （2）物理可实现维纳滤波器 对于稳态维纳滤波器， 上式成立的充要条件为， 维纳—霍夫方程 Wiever - Hopf 均方误差： 该方程不是在整个时间范围内成立，仅仅在大于0的范围内成立，所以不是卷积关系 求解维纳—霍夫方程的方法： （1）“白化”方法； （2）谱分解法。 （1）输入为白噪声的情况 维纳—霍夫方程为： （2）输入为非白噪声的情况 先将输入“白化”，然后再求解。 “白化”滤波器 对 r’(t) 的最佳滤波器 “白化”滤波器传递函数。 求解H2(ω): 根据前面结果： 部分的傅立叶变换。 均方误差： （3）频谱因式分解法解W-H方程 为了能够应用卷积运算，引入一个负时间信号： W – H 方程下限变为： 两边拉氏变换： 或 极点在上平面左半平面 （对应正时间信号） 极点在上平面右半平面 （对应负时间信号） 二、非