5.2参数的区间估计.pptVIP

5.3 区间估计一、概念 四、两个正态总体方差比的置信区间 * * 定义： 设总体X的分布函数F(x；?)含有未知参数?，对于给定值?（0 ?1),若由样本X1, …, Xn确定的两个统计量 使 则称随机区间 为?的置信度为1??的置信区间 注：F(x;?)也可换成概率密度或分布律。 5.4 正态总体参数的区间估计 1、?2已知 从而 ?/2 ?/2 1-? 按标准正态分布的双侧α分位点的定义，有 即 这样就得到了μ的一个置信水平为1-α的置信区间 求正态总体参数置信区间的解题步骤： (1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知； (2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1??，要求区间按几何对称或概率对称； (3)解不等式得随机变量的置信区间； (4)由观测值及?值查表计算得所求置信区间。 例1 某工厂生产某型号的零件，从某天产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm) 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 设直径X服从正态分布，方差σ2=0.06；求直径均值的置信区间（α=0.05）。 解 ?已知时,?的置信度为1??的置信区间为 这里 2、?2未知 这样就得到了m的1-a置信区间为 1-? 即 可得 例2 某食品厂生产一大批糖果，包装成袋准备出厂，先从中随机抽取16袋，称得重量(克)如下 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 这里设每袋袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值μ的置信区间（α=0.01）. 解: ?未知时,?的置信度为1??的置信区间为 经计算得 当α=0.01时，查表，得 于是 二、单正态总体方差的置信区间 假定m未知， 这样就得到s2的置信度为1??的置信区间为 例3 设某批产品的应力服从正态分布，为了确定这批产品的应力方差，随机抽取25件进行试验，测得它们的应力标准差S=100.取α=0.05，对这批产品的应力方差进行区间估计. 解 由题设 n=25,S=100,故S2=10000. 当α=0.05时，查表，得 于是 故以1-α=0.95为置信度的应力方差的置信区间为（6096.94，19353.28） 三、两个正态总体均值差的置信区间 从而 其中 从而得?1- ?2 的一个置信水平为1-α的置信区间 假定?1，?2未知 即 例4 设总体X~N(μ1,52),从中任取一个容量为10的样 本，其平均值为 是其容量为12的样本均值；如果所取两个样本相互独立，试求90%为置信度的μ1-μ2的置信区间. 解 由于1-α=0.90，α=0.1，查表，得 于是 故所求均值差μ1-μ2的置信区间为（-8.07，-0.33） 例5 为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂，为慎重起见，首先在试验工厂进行试验.设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，得到得率的平均值 样本方差 又采用新的催化剂进行n2=8次试验，得到得率的平均值为93.75。样本方差为4.02假设两总体都服从正态分布且方差相等，两样本独立，试求两总体均值差μ1-μ2的置信水平为0.95的置信区间. 解 由题设，有 对于α=0.05，查表，得 于是 故所求均值差μ1-μ2的置信区间为（-4.15，0.11）. 例 6 某大学从甲，乙两市招收的新生中分别抽取5名男生和6名男生，测得其身高（cm)为 甲市：172 178 180.5 174 175 乙市：174 171 176.5 168 172.5 170 假设两市学生身高都服从正态分布 解 由观测数据计算得 对α=0.05，查表，得 故得 的置信水平为0.95的置信区间为 即为（0.168，11.629）. 五 （0-1）分布参数的区间估计 大样本法：就是在样本容量比较大时，利用中心极限定理，建立统计量，且其分布与任何未知参数无关，并根据上α分位点的定义，找到置信区间. 假设有一容量n50的大样本，它来自（0-1）分布的总体X,X的分布律为 其中p为未知参数，求p的置信水平为1-α的置信区间. 已知(0-1)分布的均值和方差分别为μ=p,σ2=p(1-p). 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，由中心极限定理，知 近似地服从N(0,1)分布，于是有 而不等式 等价于 记 于是有上式得p的一个近