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运用函数属性，解决数列问题-中学数学论文 运用函数属性，解决数列问题 马俊华 （无锡市第一中学，江苏无锡214031) 摘要：数列是高中数学的重要内容之一，它的本质是离散的函数。高考中经常涉及到数列的基本运算，与数列有关的最值问题和不等式问题，从数列的本质出发，结合数列的函数属性，可以找到比较本源的简单解法。 关键词：数学本质；函数性质；高考数列问题 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0056-02 一、用数列的函数属性研究等差数列和等比数列 数列作为函数，在等差数列和等比数列这两类特殊数列的通项公式an及前n项和公式的结构中有充分的体现和反映。 在等差数列{an}中，当公差d≠0时，它的通项公式an=a1+(n－1)d=dn+(a1－d)本质上是关于的n一次函数，其前n项和Sn=na1+n(n－1)2d=d2n2+(a1－d2)n是关于的n二次函数且不含常数项；当公差d=0时，an=a1是常数函数，Sn=na1则是正比例函数或常数函数。 在等比数列{an}中，当公比q0且q≠1时，该等比数列的通项公式an=a1qn－1及其前n项和Sn=a11－q－a11－qqn本质上都是指数函数和一次函数的复合。 例1：在等差数列{an}中，已知ap=q，aq=p（p≠q），求ap+q的值. 解法一：设an=An+B，则ap=Ap+B=q, aq=Aq+B=p, 两式相减，得A=－1，所以B=p+q，因此ap+q=－1·(p+q)+(p+q)=0。 解法二：考虑到等差数列{an}的通项公式是一次函数的图像特点，应有(p,ap)，(q,aq)，(p+q,ap+q)三点共线，所以ap－aqp－q=ap+q－aq(p+q)－q，即q－pp－q=ap+q－pp，解得ap+q=0. 二、用数列的函数属性研究数列的最值问题 数列的最值问题在高考中屡见不鲜，除了等差和等比数列的基本题型外，不断涌现其它类型的数列最值问题，认清数列的函数属性，借助处理函数最值的思想方法，往往可以使这类问题迎刃而解。 例2：设等差数列{an}前n项和Sn，已知a3=12，S120，S130． （1）求公差d的取值范围； （2）指出S1,S2,…,S12中哪一个最大，并说明理由。 解：（1）由S12=12(12－2d)+66d0, S13=13(12－2d)+78d0, 解得－247d－3； （2）方法一：由an=(12－2d)+(n－1)d0得n3－12d，而函数f(d)=3－12d在区间［－247,－3］上单调递增，f(d)的最小值为f(－247)=132，因此使得an0的n只可能是1,2,3,4,5,6，所以S6最大。 方法二：Sn=n(12－2d)+n(n－1)2d=d2n2+(12－52d)n，设函数f(x)=d2x2+(12－52d)x，由－247d－3知该抛物线开口向下，对称轴x=52－12d∈(6,6.5)，而Sn是当x∈N*时分布在函数y=f(x)图像上离散的点，因此S6最大。 方法三：由S13=13a70知a70，又S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)0，所以a60，又－247d－3，所以a1a2…a60a7a8…，因此S6最大。 三、用数列的函数属性研究与数列有关的不等式问题 数列与不等式的综合问题是历年高考中的热点问题，难点问题，不等式的综合运用和推理证明对学生分析问题、解决问题提出了较高的要求，而作为数列的本质属性，函数的思想方法在处理这类与数列有关的不等式问题时有很好的应用。 例3：已知a为整实数，n为自然数，抛物线y=－x2+an2与x轴正半轴交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。 （1）用a和n表示f(n)； （2）求对所有n都有f(n)－1f(n)+1≥n3n3+1成立的a的最小值； （3）当0a1时，比较∑nk=11f(k)－f(2k)与274·f(1)－f(n)f(0)－f(1)的大小，并说明理由。 解：（1）A(an2,0)，对y=－x2+an2求导得y′=2x，抛物线在A处的切线方程为y=－2an(x－an2)，即y=－2anx+an，所以f(n)=an； （2）由（1）知f(n)=an，则f(n)－1f(n)+1≥n3n3+1成立的充要条件是an≥2n3+1，即an≥2n3+1对所有n∈N成立，特别地，取n=2得到a≥17．当a=17，若n=0,1,2时，(17)n≥2n3+1显然成立， 法一：当a=17，n≥3时，设函数f(x)=(17)x－2x3－1，x∈［3,+∞)，由f(x)=(17)x(ln17)3－12≥(17)3－120知f″=(17)x(ln17)2－12x在［3,+∞)单调递增，从而f″=(17)x(ln17)2－12x≥(17)3－3