第一、二章 数模概论 初等模型.pptVIP

目效率 定义 对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商值称为此棋块的目效率，记为E。 Figure 4 Figure 4 Figure 4 遗传模型 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因中各继承一个基因，形成自己的基因对。 问题：某植物园中的中植物的基因型为ＡＡ、Ａa、aa。人们计划用ＡＡ型植物与每种基因型植物相结合的方案培育出植物后代。经过若干年后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么样的情形？ 令x(n)=(an,bn,cn)T为第n代植物的基因分布，x(０)=(a０,b０,c０)T为初始分布。显然，我们有 a０ ＋ b０＋ c０ ＝ 1 先考虑第n代中的ＡＡ型。我们有 an = an-1 + bn-1/2 + 0.cn-1 (n=1,2,…) 同理，我们有 bn = bn-1/2 + cn-1 cn = 0 利用矩阵表示上面的递推公式，即 x(n) = Mx(n-1) (n=1,2,…) 其中M如右所示。 这样，递推此公式，我们可以得到 x(n)=Mx(n-1)=M2x(n-2)=…=Mnx(0) bn = bn-1/2 + cn-1 cn = 0 an = an-1 + bn-1/2 + 0.cn-1 对矩阵Ｍ做相似变换，我们找到非奇异矩阵Ｐ和对角矩阵Ｄ。使 M = PDP-1 其中矩阵Ｄ如右上角所示， 这样，由递推公式，人们得到 最终，我们有 显然，当n→∞时，可得 an→1, bn→0, cn→0 即在足够长的时间后，培育植物基因基本上呈现ＡＡ型。 将方桌旋转π/2，有 f(π/2)=0, g(π/2)0 故 h(π/2)0 显然，h(θ)是连续函数，由连续函数的介值定理，至少存在θ０ ∈(０,π/2)，使得h(θ0)=0,即 f(θ0)=g(θ0)， 又由于 f(θ0).g(θ0)=0 故有 f(θ0)=g(θ0)＝０ 于是原问题得到解决。 市场稳定问题 当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会加大生产量。一旦生产量“供过于求”，价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。问题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。  “供给”是指在一定条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，设供给函数q=?(p)。 供给函数一般为单调增加函数。又因为q=?(p)单调增加，所以存在反函数p=?-1(q)，往往我们也称此函数为供给函数。  需求曲线与供给曲线交于一点E(qm,pm)。当ppm时，?－１(p)＞ｆ－１（ｐ），即“供不应求”，市场机制导致价格上涨，p增大。当ppm时， ?－１(p)＜ｆ－１（ｐ），即“供过于求”，这种状况必然导致价格下跌，p减少。  从以上分析我们似乎可以看出：市场上的商品价格将围绕价格pm（称之为均衡价格）摆动。但实际情况并非如此简单？  例 设某产品的供给函数?(p)与需求函数f(p)皆为线性函数： ?(p)＝a(p-?)+?, f(p)=-b(p- ?)+? 其中a0, b0, 两直线相交于点Ｍ(?,?)。  将时间区间用等步长来划分，第n个节点处tn=n?, ?为时间步长。设pm为tn时刻的价格，则由市场上供求平衡的需要，有 ｆ（pn）＝ ? （pn-