考研概率论与数理统计第一讲.pptVIP

第二讲 事件的概率 事件的概率 一、概率的统计定义 事件的频率 定义 ：若在相同条件下进行的n次重复试验中，事件A发生了m次，则称比值m/n为事件A发生的频率，记为fn(A)， 即 fn(A)=m/n 并称m为事件发生的频数。 意义：描述了事件在n次实验中发生的频繁程度. 性质： ① （非负有界性） ； 概率统计定义： 若在相同条件下进行了大量重复试验，当试验次数n充分大时，事件A的频率fn(A)将逐渐稳定于某个常数p，这个常数称为事件的概率， 记为P(A)。 二、概率的公理化定义 定义 设S是随机试验E的样本空间，若对E的每一个随机事件都赋予一个实数P(A)，使之满足 性质 ①有限可加性：对任意k个两两互不容事件A1，A2, … , Ak , 有 例题 解: 因每抛一次硬币都有两种可能“正”或“反”，故抛3次共有23种不同情况： 2)记A=“至少有一次出现正面”，则 =“3次都出现反面”，从而 思考： 如果不把样本空间中的样本点罗列出来，能否求n ? 如果不把事件所含的样本点罗列出来，能否求k ? 例2： 一袋中装有4只白球，2只红球，从袋中随机取球两次，每次取一只，在不放回抽样下，求 1)取到的两只球都是白球的概率； 2)取到的两只球颜色相同的概率； 3)取到的两只球中至少有一只白球的概率。 四、具有典型意义的三类问题 抽球问题 分房问题 随机取数问题 例4 将n个不同的球随机放入N(n≤N)个不同的盒子,试求下列各事件的概率： 1）指定的n个盒子中各有一球； 2）恰有n个盒子各有一球; 分析: 计算样本点数目的填空法: 将完成实验过程按步骤分为空格； 以实现目标为目的逐一填空，并计算出各空的不同填发数目； 乘法原理！ □ □ ... □ N个 。。… 。 n个 就本题而言： 不加约束的话，每一个球都可以“进入”N个中的任一个盒子，共有 N n 种；指定的n个盒子中各有一球 五、几何概率 作业: Page 27 T10 T11 T12 T13 T14 加法公式应用举例: 解 (2) 10 个球中任取两球的取法有 种, 其中 刚好一个白球, 一个黑球的取法有 种取法, 两个球均是黑球的取法有 种, 记 为事件 好取到一个白球一个黑球”, 为事件 为黑球”, 则 “刚 “两个球均 完 典型性： “球与盒子”、“人与生日”、“人与房间（车站等）”… 分析: 计算样本点数目的填空法: 将完成实验过程按步骤分为空格； 以实现目标为目的逐一填空，并计算出各空的不同填发数目； 乘法原理！ □ □ ... □ N个 。。… 。 n个 就本题而言： 不加约束的话，每一个球都可以“进入”N个中的任一个盒子，共有 N n 种；指定的n个盒子中各有一球 要“恰有n个盒子各有一球”，则应先选出n个盒子，然后让n各球各进入一个盒子！ 共有 ？ 参看课本P14例5 古典概型：有限性和等可能性 几何概型 确切的说，?由无穷多个样本点构成，或者说 ? =区域 对于? =区域的情况，如何描述等可能性呢？ A B 例如打靶：只要集合A与集合B的面积相等，不管位置、形状如何，击中A与击中B的可能性就相等。 几何概型的等可能性含义 几何概型试验定义： 向区域?投掷一质点M，如果： 1）M必定落在? 中； 2）对于集合G ? ? ，一质点落在G中的可能性大小只与G的测度（线段长度、平面图形面积、空间区域的体积）有关，而与G的形状、位置无关。 同时，称 表示G 的测度 为落如区域G的几何概率，简称为概率 例 5 (会面问题) 间在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 如果每个人 过时 试计算二人能够会面的概率. 解 记 7 点为计算时刻的 0 时, 以分钟单位, 分别记甲、乙达到指定地点的时刻, 则样本空间 以 表示事件“两人能会面”, 则显然有 就离开. 到达, 为 甲、乙两人相约在 7 点到 8 点之 可在指定的一小时内任意时 解 样本空间 以 表示事件“两人能会面”, 则显然有 为 解 样本空间为 以 表示事件“两人能会面”, 则显然有 根据题意, 这是一个几何概 于是 型问题, 完 例6 在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数 之和小于6/5”的概率。 分析：样本空间S={(x,y)|0x1,0y1}