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第3章 集合 3.1 集合论基础 1. 集合与元素 所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X，Y，···表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y···表示之。a是A的元素或a属于A，记作a?A；a不属于A或a不是A的元素，记作a?A，或者?(a?A)。 集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。 3.1 集合论基础 外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A?B。 外延公理可形式表为： A=B?(?x)(x?A?x?B) 3.1 集合论基础 表示一个特定集合，基本上有两种方法： 枚举法，如 A={a,e,i,o,u} (1) 谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则{x|P(x)}定义了集合S，并可表成 S={x|P(x)} 3.1 集合论基础 子集公理： 对于任给集合A和性质P，存在集合B，使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。 子集公理可形式地表成： (?B)(?x)(x?B?x?A??(x)) 其中?(x)为不含B自由出现。 子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得以存在和发展。 3.1 集合论基础 2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。 定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为A?B。 本定义也可表成： A?B?(?x)(x?A?x?B) 这表明，要证明A?B，只需对任意元素x，有下式 x?A?x?B 成立即可。 此外，若集合B不包含集合A，记为A ?/ B。 3.1 集合论基础 例3.1.1 设A={a,b}，B={a,b,c}，C={a,b,c,d,e}，于是，A?B，A?C。 定义3.1.2 设A和B是两个集合，若A?B且A?B，则称A是B的真子集，记为A?B，也称B真包含A。该定义也可表为 A?B?(A?B?A?B) 由定义易知，在例1中有A?B。 定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为 U={x|P(x)??P(x)} 其中P(x)为任何谓词公式。 3.1 集合论基础 定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记为?，它可形式地表为： ?={x|P(x)??P(x)} 其中P(x)为任何谓词公式。 由定义可知，对任何集合A，有??A。这是因为任意元素x，公式x???x?A总是为真。 定理3.1.1 空集是唯一的 定理3.1.2 (ⅰ)对任一集合A，有A?A。 (ⅱ)若A?B且B?C，则A?C。 证明 留给读者自行完成。 3.1 集合论基础 3．集合的基数 表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。 如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有：Nm={0,1,2,···,m-1} 本书中常见的无穷集合有： N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合。 3.1 集合论基础 4．集合的幂集 一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)， P(A)={B|B?A} 由定义可知，??P(A)，A?P(A)。 3.1 集合论基础 例2 ① 若A=?，则P(A)={?} ② 若A={a,b,c}则P(A)={?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}。 用归纳法不难证明，若A是有穷集，则|P(A)