大学线性代数课件第四章第六节 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构.pptVIP

* 设非齐次线性方程组为 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 （*） 其中 至少有一个不为零 分别称为方程组（*）的系数矩阵及增广矩阵 记 矩阵 则（*）可表示为 Ax=b （*） （*’） （**） 或用向量表示为 并且我们称方程 Ax=0 为非齐次线性方程组（*）所对应的齐次线 性方程组（或称为（*）的导出组） 如果方程组 (*) 有解，故方程 (*’)成立 向量b为向量组 的线性组合, 于是向量组b, 与向量组 等价 向量组b, 与向量组 的秩相等 由列向量 组成的矩阵A与由列向量b, 所组成 的矩阵B 的秩相等, 即r(A)=r(B). 反之, 如果r(A)=r(B) 向量b为向量组 的线 方程组 (*) 有解 向量组 与向量组 等价 ，则向量组 与向量组 的秩相等 性组合 由此说明：下面四个命题是等价的 （1）方程组(*) 有解 ; （2）向量b能由向量组 线性 表示； （3）向量组 与向量组 等价； （4） r(A)=r(B). 定理10 非齐次线性方程组 (*) 有解的充分 必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩 相等. 当r(A)=r(B)= n（未知量个数）时有唯一解. 当r(A)=r(B) n 时有无穷多组解. 此时通解的结构为: 非齐次方程组的一个特解 + 导出组的通解. 证明 非齐次线性方程组解的性质，由此可得到解的结构 证明 证毕． 定理10的证明: 解的存在性已说明. 现在分两步证明解的结构. （1）当r(A)=r(B)= n（未知量个数）时,首先 方程组的解已经存在,设为X0 （特解） 此时导出组AX=0只有零解. 如果（*）还有其他解X1.由解的性质（1）知 X1-X0是导出组（**）的解。矛盾 （2）当r(A)=r(B) n（未知量个数）时, 方程组(*)的解也已经存在,设为X0 （特解） 设?是方程组的任一解. 由解的性质(2)知 ? -X0是(**)的解, 故可以写成: 齐通解 特解 例 1: 求解非齐次方程组 解： 令 则 为任意常数） 法1： 法2： 令 得 又原方程组对应的齐次方程组的通解是 令 得基础解系 所以原方程组的通解是 为任意常数） 例2： k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解. 解： 法1： 法2：(系数矩阵是方阵时可以使用.) 有无穷多解， 即 当 时， 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 所以方程组无解。 例3: 问a、b为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解？并求出其 唯一解和通解. 解: 对增广矩阵B进行初等行变换