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小结：初等函数求导问题 函数与极限 2-2 导数的运算 一、基本初等函数的导数 二、导数的四则运算法则 四、复合函数求导法则 第二章导数与微分 三、反函数的求导法则 五、隐函数求导法则 六、高阶导数 导数的运算 一、基本初等函数的导数 (公式) 导数的运算 注 用定义证明： 其余用求导法证即可. 导数的运算 二、导数的四则运算法则 定理： 特别地， 例： 导数的运算 解： 例： 导数的运算 解： 同理可得： 定理 导数的运算 且 即： 三、反函数的求导法则 单调可导， 且 或 或 注 直接函数的导数与反函数的导数互为倒数 导数的运算 证法分析： 要证 即证 证明： 导数的运算 因此， 于是， 即： 或 例 的导数 导数的运算 故， 即 解： 例 解： 导数的运算 互为反函数. 故 同理可得， 1 定理： 导数的运算 四、复合函数求导法则 与x对应的点u可导， 函数y=f(u)在 点可导， 且 或 即： (由里向外逐层求导) 复合函数的导数等于外函数对中间变量求导 再乘以中间变量对自变量求导 链式法则 注 导数的运算 定理可推广 例 构成复合函数 则 或 (由里向外逐层求导) 导数的运算 定理证明 因 故 故在x点连续， 于是 例 导数的运算 分析 解法一 导数的运算 解法二 例 解： 导数的运算 例 解： 例 解： 导数的运算 另解： 注 显函数： 导数的运算 五、隐函数求导法则 因变量y显现在等式一端. 如： 隐函数： 如： 隐函数的求导法则： 先在确定隐函数的方程两边 同时对x求导， 因变量y隐含在等式中. 例 解 导数的运算 将上述方程两边同时对x求导,得 所以 因为y是x的函数, 是x的复合函数, 对数求导法： 导数的运算 然后 先对已知等式两边求对数， 两边对x求导. 例 解： 两边对x求导数 故 即 例 解法一 导数的运算 等式两边取对数得 解法二 导数的运算 利用对数恒等式 例 解 导数的运算 等式两边取对数得 定义 导数的运算 六、高阶导数 则 一阶导数， 记 一阶导数的导数叫 二阶导数， 记 n-1阶导数的导数叫 n阶导数， 记 二阶及二阶以上导数统称为高阶导数 例 解 同理可得 即 高阶导数 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. * *