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习题课5.1 微分中值定理 主要内容 Fermat引理; Rolle定理; Lagrange中值定理; Cauchy中值定理; 一阶导数与单调性; 二阶导数与凸函数; Jensen不等式 注意各结论 的条件 主要应用 导数的介值问题----中值定理; 零点问题---Fermat引理,中值定理; 恒等式----一阶导数,中值定理; 不等式----导数,中值定理, 凸函数; 方程解----零点问题---中值定理; 极限---导数. 导数 注意：严格性 Lanrange中值定理（第4题） Cauchy中值定理（第16题） 函数是常数的证明 注意定理条件和结论：在开区间上可导且导数为0，则在开区间上是常数; 如果区间是闭区间呢？ 在闭区间上连续，在开区间上可导且导数为0，则在闭区间上是常数; 极限计算 方程根的讨论 零点定理，介值定理 ； Fermat引理 ； Rolle定理；； 中值定理。 不等式的证明 利用单调性（一阶导数）； 利用中值定理； 利用凸性（Jensen不等式）; 利用最值和极值（5.5节）. 用凸函数证明 单调性 严格单调性 严格凸函数 Jensen不等式 严格凸函数 的Jensen不等式 * 能得到函数在该点（左、右）邻域中的单调性吗？ 注意：此处没有导函数的连续性， 不能用零点定理。 用Fermat引理 参见：4.3节第10题 （P142） 可否用Lagrange中值定理？ 单调性（唯一性）； （连续） （极值点可导） （闭区间连续开区间可导） （闭区间连续，开区间可导） 用Lagrange中值定理 用一阶导数也可证明 利用单调性 ， . 以上条件中二阶导数除有限个点外成立，结论仍然成立！！ 如果函数是严格下凸函数呢？ *
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