高数下复习大纲[1].pptVIP

第八章 多元函数积分学 1，二重积分 （1）二重积分简单性质，计算方法（直角坐标、极坐标）。 （2）利用二重积分求平面图形面积、空间立体的体积、曲面面积。 2，三重积分：直角坐标、柱面坐标、球面坐标。 若曲面的方程为： 曲面面积公式为： 3，曲线积分 （1）对弧长的曲线积分 （2）对坐标的曲线积分 （3）两类曲线积分的关系 一类小放下 二类起放下 其中 为有向曲线弧L上点 处的切向量的方向余弦. 第四章 常微分方程 1，微分方程的基本概念：阶、解、通解、特解 2，一阶方程 （1）可分离变量型 （2）可化为分离变量型 （简单变量代换） （3）一阶线性方程 非齐次：常数变易法 伯努利方程 齐次： 非齐次方程特解 对应齐次方程通解 4，二阶常系数线性微分方程 齐次 非齐次 3，线性微分方程解的结构定理 小结 求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤: 第三步 按特征根形式写出方程(1)的通解: 第一步 写出特征方程; 第二步 求特征方程的两个根 通解结构 对应齐次方程 (2) 为(1)的特解, 为(2)的通解. . 求特解 的方法—待定系数法. 方程 的特解具有形式 其中 为与 同次的多项式, 一， 二、 方程 的特解可设为 分别为 次多项式 的 其中 次多项式, 为待定的 5，可降阶的高阶微分方程 第五章 无穷级数 1，常数项级数 （1）基本概念：部分和，收敛，发散，收敛级数的和。 （2）级数的基本性质及收敛的必要条件。 （3）几何级数与p级数收敛与发散的条件。 存在(不存在). 常数项级数 收敛(发散) 其中 （4）正项级数收敛判别法：比较，比值，根植。 比较判别法 设 则 当 收敛时, 收敛; 当 发散时, 发散. (1) (2) 比较判别法的极限形式 设 。 (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 . (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (1) 当 的敛散性相同; 时, 与 则 设 如果极限 存在或为 ，则 (1)当 时，级数 收敛； (2)当 时, 级数 发散； (3)当 时, 级数可能收敛亦可能发散(失效). 比值判别法： 比值判别法适用范围： 中含有因子n!或为含n的因式。 根值判别法 设 存在或为 ，则 (2)当 时, 级数 发散； 根值判别法适用范围： 中含有以n为指数的因子。 (1)当 时，级数 收敛； (3)当 时, 级数可能收敛亦可能发散(失效). 小结：正项级数的敛散性判断程序： 若不满足，则 发散； 若满足，进入下一步。 (1)检验必要条件 是否满足： (2) 根据 特点选择比值判别法或根值判别法； (3)若上述判别法失效， 观察级数是否与几何级数或 P-级数形式上接近 ， 选择比较判别法； (4)若上述方法均失效，则考虑用敛散性定义： 是否存在 。 考虑 （基本判别法） （5）交错级数的莱布尼兹判别法。 （6）任意项级数条件收敛和绝对收敛的概念，绝对收敛与收敛的关系。 如果 收敛, 则称 绝对收敛; 条件收敛. 如果 收敛, 发散, 则称 满足: 如果交错级数 则级数 收敛. 2，函数项级数与幂级数 （1）函数项级数的概念：收敛域，和函数。 （2）幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的求法。 称为 的幂级数, 几何解释 收敛区域 发散区域 发散区域 求幂级数收敛半径与收敛域的步骤: (1)对 设 或 即 收敛域为下列情形之一： (2) 对幂级数 令 化为 按(1)的步骤求出其收敛半径和收敛域 ， 然后 代，解出x的变化范围, 将t用 收敛域为下列情形之一： 所求级数的 (3)若所给的幂级数 中有的项的系数为0 ， 此时视x为参数，利用正项级数的比值判别法或 根值判别法求之。 即先求相邻两项之比的绝对值的极限： ， 令 解出x的变化范围为 则 收敛半径 . 再考虑所给级数在 的敛散性，可求得其收敛域。 （3）幂级数在收敛区间内和函数的求法： 利用幂级数在收敛区间内的基本性质： 和函数的连续性、逐项求导和逐项积分。 （4）掌握一些常用麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接 展开成幂级数。 第六章 空间解析几何与向量代数 1，向量代数 （1）向量的运算：线性运算、数量积、向量积。 （2）单位向量、方向角、方向余弦、向量的坐标表达式。 （3）向量垂直，平行的条件。 2，空间平面与直线 （1）直线方程： （2）平面方程： （3）平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹