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课 前 复 习 第5节 随机变量的独立性 * * 二维随机变量、 联合分布函数、 二维离散型r.v、 联合分布律、 二维连续型r.v、 联合密度函数、 边缘分布. 一些概念 联合分布函数及其性质 (1) 是变量 x 和 y 的不减函数. （3） 关于 x 和 y 左连续. (4)对 ，有 注意：存在着二元函数 g(x, y) , 满足前三条，但不满足 第4条。 例如 则可证 g(x,y)满足前三条，但 2 二维离散型r.v及其分布律 分布律 满足： 注1) 分布密度 f(x, y) 的性质： 3 二维连续型r.v及其分布密度 注2) f(x,y)与F (x, y) 相互决定 注3）设G为一平面区域，则 1.区域 G上服从二维均匀分布。 两种常见的二维连续型随机向量的分布： 2.二维正态分布 二、 边缘分布 由前面讨论知，二维随机变量 (X,Y ) 作为一个整体，具 有分布函数 F(x, y)，而 X 、Y 都是随机变量，各自具有分 布函数 和 。我们把 和 依次称为关于 X 和关于Y 的边缘分布函数。 问题：若(X,Y )的（联合）分布函数已知，能否决定两个 边缘分布函数；反过来，若两个边缘分布函数已知，能 否决定 (X,Y )的（联合）分布函数？ （前者是肯定的，后者则不然） 证明：由于 ，所以 定理⒈ 设 (X,Y ) 的分布函数为 F(x, y)，则关于 X 和关 于Y 的边缘分布函数分别为 证明：由于 ，且对任意的 ， 与 互不相容，于是得 同理可得关于Y的边缘分布律。 定理2 设 (X,Y ) 为离散型随机向量，其分布律为 则关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为 设(X,Y )的联合分布律为： 由公式 求得边缘分布律（见上表） 例 (续前例1) 设 随机变量 X 在1,2,3 中等可能地取一 个 值,另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值, 试求 (X,Y) 的分布律及边缘分布律. 解 (X,Y) 的分布律如下: 计算得边 缘分布律 为（见表 中） 而 同理可得关于Y 的边缘分布密度。 定理3 设 (X,Y ) 的分布密度为 f(x, y)，则关于 X 和关于Y 的边缘分布密度分别为 证明：由定理1知 解：区域 G 的面积为 故(X，Y) 的分布密度为 边缘分布密度分别为 例3 设G为抛物线 与 所围的平面区 域，（X，Y）在G上服从均匀分布，求（X，Y）的分 布密度及其边缘分布密度。 例4 求二维正态分布 (X, Y ) 的边缘分布密度。 解：二维正态分布(X, Y )的分布密度为 故边缘分布密度 令 ，则 即 同理可得到关于 Y 的边缘分布密度。 此例说明，当 (X, Y ) 服从二维正态分布时，其边缘分 布正好是一维正态，分布并且不依赖参数 ，即对于给定 的二维正态分布，不管参数 为多少，所获得的边缘分布 密度都是一样的，这就表明由边缘分布一般不能确定联合 分布。 即 ；但反之不成立。 三、条件分布 设 (X, Y ) 为二维离散型随机变量，其分布律为 (X, Y )关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为 设 我们考虑在事件 已发生的情况下 事件 发生的概率， 1.二维离散型随机变量情形 也就是研究如下概率 易证： 于是给出如下定义： 由条件概率公式得 定义 设(X, Y ) 为二维离散型随机变量，对于固定的 j ， 若 ，则称 为在 条件下随机变量 X 的条件分布律。 同样，对于固定的 i ，若 ，则称 为在 条件下随机变量 Y 的条件分布律。 注意掌握如何借助于联合分布律表来求条件分布律： 例1 (续前例) 设随机变量 X 在1,2,3 中等可能地取一个 值, 另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值, (1)试求 (X,Y) 的分布律及边缘分布律. (2)分别求在 X=1, 2, 3 下，Y 的条件分布律。 解 (X,Y) 的分布律如下: 计算得边 缘分布律 为（见表 中）