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第五章 样本及抽样分布 * * 一.数学期望、方差的性质及应用 第3,4章 学习重点 二.会计算随机变量函数的数学期望 三.协方差和相关系数的性质及应用 四.了解多维正态分布的重要性质 五.掌握切比雪夫不等式 六*. 了解辛钦大数定律和二项分布的正态逼近 例1（1）设 X 表示10次独立重复射击命中目标的次数， 每次击中目标的概率为0．4，试求 。 解 补 充 例 题 例1（2）已知 ,求 。 解： 例2(02年考研题）设随机变量X和Y的概率分布为 解 应填 -0.02。 由联合分布，可得 。 -0.02 例3 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要 调整的概率相应为 0.1,0.2,0.3 。假设各部件的状态相互独 立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望 EX和方差DX。 解 令Ai=“第 i 个部件需要调整”（i =1，2，3） 例4 设X 是非负连续型随机变量，证明对任意 t 0, 解 例5 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.5, . 6 (03年考研题) 例6 设总体 X 服从正态分布 ，试求 X的k 阶原点矩。 故 例7 连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保证 正面向上的频率在 0.4 与 0.6 之间的概率不少于 90%。 （1）用切比雪夫不等式确定抛掷次数； （2）用正态逼近计算抛掷次数。 解 例7 连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保证 正面向上的频率在 0.4 与 0.6 之间的概率不少于 90%。 （1）用切比雪夫不等式确定抛掷次数； （2）用正态逼近计算抛掷次数。 引言 概率论中讨论问题常常是假定r.v.的分布已知，去求 有关事件的概率或数字特征等等。 但在实际中，r.v.的分布常常是未知的，或虽然知道其分布类型，但其中的参数值并不知道。 如：一次考试过后，学生的成绩究竟服从什么分布？ 若假定其服从正态分布，其中参数值又等于多少？ 一批灯泡的寿命分布如何？次品率是多少？ 回答这些问题，正是数理统计的内容。 数理统计的任务 以概率论为理论基础，研究怎样用有效的方法去收集整 理和分析带有随机性影响的数据，并对所考察的问题作出 推断和预测，直接为决策行动提供依据和建议。 数理统计的主要内容包括： 数据的收集：抽样调查，通常要得到一批数据； 数据的整理：建立一种方法，提取数据中包含的信息； 统计推断：回答要解决的问题，如参数的估计，假设 检验、趋势预测等。 一.总体与样本 第一节 样本、总体、统计量 本节主要介绍一些概念。 总体的r.v.表示：以 X 表示总体的该数量指标，则研究总体 就相当于研究 X ，故就把X视为总体，常称为总体 X。 在实际中，我们研究某一随机试验时，总是研究有关对象的某一个（或某几个）数量指标。 我们将试验的全部观察值称为总体。而将每一个观察值称为个体。总体中包含的个体的个数称为总体的容量。容量为有限的总体称为有限总体，容量为无限的总体称为无限总体。 二、样本及样本的联合分布 对总体 X 进行n次观察，将n次观察的结果依次记为 称 为来自总体 X 的一个样 本， 称 n 为样本容量（或样本长度）。 在 n 次观察具体完成后，得到 的具体 的值，记为 ，称 为样本观察值或样本值。 注意样本的二重性. 定义（简单随机样本） 设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若 是具有同一分布函数 F 的、相互独立的随机变量，则称 为从分布函数 F（或总体 F，或总体 X）得 到的容量为 n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值， 称为样本值，又称为 X 的n 个独立观察值。 注：根据样本的性质，可写出样本的联合分布。 三、简单随机样本： 我们的目的是要依据所进行的n次观察（即样本），能 对总体 X 的情况作一个推断，因此就要对样本有一定的要 求。一般要求样本具有：一、代表性；二、独立性。 设 X 为一个总体，