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第五章 非线性方程的求根 作业 习题五，1（1），（2），（3），3，5，6 * 二、解非线性方程组的Gauss－Seidel迭代法 在简单迭代格式中，用已经计算出的必威体育精装版分量 就得到Gauss－Seidel迭代法。第 i 个分量的计算公式为 代替 例5.5 分别用一般迭代法和Gauss－Seidel迭代法，解方程组 * 解 ①简单迭代法的迭代格式为 取初值 ，计算结果如表5.4所 ②Gauss－Seidel迭代的迭代格式为 计算结果如表 5.5所示 * 3.1×10-7 -0005 1.2×10-5 -0004 2.3×10-4 -0003 9.4×10-3 -0002 0.423 -0001 -0.1 0.1 0.1 0 表5.4 * 3.8×10-8 -0004 2.8×10-5 -0003 2.4×10-2 -0002 0.423 -00.0222979 01 -0.1 0.1 0.1 0 表5.5 准确解为 * 三、解非线性方程组的Newton法 函数 构成的Jacobi矩阵记为 将 处进行Taylor展开有 * 略去无穷小量，并写成向量形式有 若 则有 称之为Newton公式 定理5.6　　设非线性方程组满足以下条件 ①函数 在解 附近连续可微。 ②Jacobi矩阵 非奇异，即 则当初值 充分接近于 时，Newton迭代格式 产生的序列收敛于 ，且具有二阶的收敛性。 * 例5.6 用Newton法求解例5.5的非线性方程组 解　方程组的Jacobi矩阵为 仍取初值 ，计算结果如表5.6所示 1.24×10-5 -0004 1.58×10-3 -0003 1.79×10-2 -0.523557711 0.0158859 02 0.422 -0001 -0.1 0.1 0.1 0 表5.6 * 应用中，为更好地使用Newton法求解非线性方程组，可采用以下的改进方法 ①为避免求Jacobi矩阵的逆矩阵，令 通过解第二式的方程组，并由第三式的迭代格式，产生 序列 。判别迭代终止的条件为 ②为避免求导运算，可用差商近似代替微商 * ③简化Newton方法 ④松驰Newton法 其中松驰因子 的选取是使在范数意义下有 一般来说松驰因子 的引入将会使方法的收敛速度变慢， 但在一定的程度上将会放宽收敛性对初值的要求。 ⑤阻尼Newton法　当 为奇异矩阵或病态矩阵时， 迭代格式可取为 * 其中阻尼因子 选取是使矩阵 非奇异并满足 ⑥松驰阻尼Newton法　　　　 其迭代格式为 * * * 在工程应用和科学计算中，常常会遇到非线性方程 。 的求根问题， 可以是多项式 也可以是超越函数 ,如 的根也称为函数 的零点。 ， 若 可表示为 ,且 则称 为 的m重根。当 m=1时称为单根 ,当m1时 称为方程的 m 重根，此时当 g(x) 充分光滑时，有 * 定理5.1（零点定理） 若 在 上连续，且 ，则至少存在一点 使 §1 二分法 基本思想：利用零点定理确定根的存在区间，逐步将含根的区间 对分。通过判别函数值的符号，将根的存在区间缩小到充分小， 从而求出满足精度要求的根的近似值。 计算步骤为，计算函数值 ， 1．若 ，ε预先给定的误差精度，