Chapter1---解析函数-1.pptVIP

十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard· Euler， 1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”。 他在《对代数的完整性介绍》一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。 所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数，因为它们只存在于想象之中。因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位. 十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家威塞尔 (Wessel)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用. 特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman，1826－1866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论. 复变函数论解除了实数领域中的若干禁区，比如： ??：复数为什么不能比较大小？ 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质。 本章重点 初等复变函数：了解复数基本概念、运算方法；理解复变函数定义，区域的概念；了解常见复变函数. 复变函数导数：理解复变函数求导，掌握柯西－黎曼方程. 解析函数：理解解析函数定义和性质，掌握利用柯西－黎曼方程求解析函数的方法. 平面标量场：了解如何用解析函数描述平面标量场。 clear ; clf; q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5; x=-6:0.6:6; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2); rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2); V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电势 [Ex,Ey]=gradient(-V); %计算电场强度 AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %场强归一化 cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),49); contour (X,Y,V,cv,k-) %用黑实线绘等势线,间隔由cv定 axis(square) title(\fontname{宋体}\fontsize{22}电偶极子的场和等势线) hold on quiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) %按尺度因子0.7的比例绘制(x,y)处的 %电场线(Ex,Ey)箭头 plot(a,b,ro,a,b,r+) %绘正点电荷 plot(-a,-b,ro,-a,-b,r-) %绘负点电荷 xlabel(x); ylabel(y) hold off 说明：图中黑实线代表等势线，箭头构成电力线。根据题中电荷的位置，不难看出图中右下方为正电荷，左上方为负电荷． 解：首先验证u(x,y)是否为调和函数，易得： 例6：已知： 求解析函数 ，并满足 . 因而u(x,y) 为调和函数，可作为某个解析函数的实部。 只需找到其共轭调和函数v(x,y) ，就可构造解析函数。 根据C-R条件： 再由C-R条件得： §1.2 复变函数 一、复变函数：以复数为自变量的函数。 二、区域：满足一定条件的点集，用来描述复变函数的定义域。 邻域，内点，外点，边界点， 区域 全由内点组成 具有连通性 内点 外点 边界点 闭区域 单值函数 （一个z → 一个w） 指数函数： 三角函数： 双曲函数： 多值函数 （一个z → 多个w） 根式函数： 幂函数： 反三角函数： 对数函数： §1.3 复变函数的导数 证明： （1）必要性： （2）充分性： 例：试推导极坐标系下C-R方程。 法一： 法二：从直角坐标关系出发 一、解析函数：在一区域内处处可导的函数。 f(z)为解析函数 （1）函数在某点解析，则必在该点可导。 （2）函数在某点可导，则不一定在该点解析。 （3）函数在某点可导与解析是不等价的，但是函数在某 区域上可导与解析是等价的。 §1.4 解析