D11-4全微分方程.pptVIP

第四节 一、全微分方程 例1. 求解 例2. 求解 例3. 求解 二、积分因子法 常用微分倒推公式: 例5. 求解 三、利用积分因子法解一阶线性方程 思考练习 解方程 作业 * 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分方程 二、积分因子法 第十一章 三、利用积分因子法解一阶线性方程 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 则 则称 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分方程 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 求解步骤: (见9. 3节) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2： ∴ 这是一个全微分方程 . 则有 故原方程的通解为 或 例3. 求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2： 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是全微分方程, 例4. 故原方程的通解为 解: 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 使 为全微分方程, 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 若存在连续可微函数 积分因子. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边同时乘以积分因子 两端积分，便得通解 即 亦即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:方程两边同时乘以积分因子 两端积分，便得通解 例6. 求解( 习题11.4 3(2) ) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 化为齐次方程. 原方程变形为 积分得 将 代入 , 得通解 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为 即 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *