D8-2一阶线性方程.pptVIP

第二节 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利方程 可降阶的二阶微分方程 一阶线性齐次微分方程初值问题 一阶常微分方程 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 可用定积分方法 注意到： 是 的原函数 方程两边同乘 ，并在 上积分，得 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2.解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 一阶线性非齐次微分方程初值问题 方程两边同乘 ，并在 上积分，得 例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 例2. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可 变形为 所求通解为 这是以 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 四、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 例3. 求方程 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 1、 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 五、可降阶的二阶微分方程 例4. 解: 型的微分方程(不显含y) 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 2、 五、可降阶的二阶微分方程 例5. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 3、 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 五、可降阶的二阶微分方程 例6. 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 例7. 解初值问题 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 思考与练习 1. 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 * *