2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第九章　平面解析几何+第6讲　抛物线+Word版含答案.docVIP

第6讲　抛物线 一、选择题 1．(2016·全国卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k0)与C交于点P，PFx轴，则k＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析　由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PFx轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k0)得k＝2，故选D. 答案　D 2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　) A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 解析　分两类a0，a0可得y＝x2，y＝－x2. 答案　D 3．(2017·宜春诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B. 答案　B 4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 解析　 ＝4， ||＝4||，＝. 如图，过Q作QQ′l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A， 则|AF|＝4，＝＝， |QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 答案　C 5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为(　　) A．12 B．24 C．16 D．32 解析　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－16，y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y＋y≥32.y＋y的最小值为32.故选D. 答案　D 二、填空题 6．(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________． 解析　由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3， 面积为S＝×2×3＝3. 答案　3 7．(2017·安徽四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案　8 8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 解析　 建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)． 由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米． 答案　2 三、解答题 9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)． (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. 求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； 求p的取值范围． (1)解　l：x－y－2＝0，l与x轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，＝2，p＝4. 抛物线C的方程为y2＝8x. (2)证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则则 kPQ＝＝， 又P，Q关于l对称．kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ＝－p，又PQ的中点一定在l上， ＝＋2＝2－p. 线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)． 解　PQ的中点为(2－p，－p)， 即 即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根．Δ＞0. 即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜， 故所求p的范围为. 10．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)． 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 则y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以y1y2＝－p2. 因为y