2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第九章　平面解析几何+第7讲　双曲线+Word版含答案.docVIP

第7讲　双曲线 一、选择题 1．(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析　因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B. 答案　B 2．(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C. 答案　C 3．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为(　　) A. B. C. D. 解析　右焦点F到渐近线的距离为2，F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，＝b＝2，又点F到原点的距离为3，c＝3，a＝＝，离心率e＝＝＝. 答案　B 4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos F1PF2＝(　　) A. B. C. D. 解析　由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 又|PF1|＝2|PF2|， |PF1|＝4，|PF2|＝2， 在PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos F1PF2＝＝. 答案　C 5．(2017·成都诊断)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B．2 C．6 D．4 解析　由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4. 答案　D 二、填空题 6．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________． 解析　由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2. 答案　2 7．(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 解析　 取B为双曲线右焦点，如图所示．四边形OABC为正方形且边长为2，c＝|OB|＝2， 又AOB＝， ＝tan＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，a＝2. 答案　2 8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，2×＝3×2c. 又b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)． 答案　2 三、解答题 9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线的方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0. (1)解　e＝， 可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，－)，16－10＝λ，即λ＝6. 双曲线的方程为x2－y2＝6. (2)证明　法一　由(1)可知，a＝b＝， c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)， kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2.∴·＝0. 法二　由(1)可知，a＝b＝，c＝2， F1(－2，0)，F2(2，0)， ＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)， ·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， 点M(3,0)在双曲线上，9－m2＝6，即m2－3＝0， ·＝0. 10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围． 解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. 故C2的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1， 得(