2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第六章　数列+第3讲　等比数列及其前n项和+Word版含答案.docVIP

第3讲　等比数列及其前n项和 一、选择题 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列． 答案　C 2．在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A．2 B. C．2或 D．－2或 解析　设数列{an}的公比为q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.故选C. 答案　C 3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　) A．55 986 B．46 656 C．216 D．36 解析　设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B. 答案　B 4．(2015·全国卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B. 答案　B 5．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 解析　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)． 即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0， 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80. S40＝150.故选A. 答案　A 二、填空题 6．(2017·安庆模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________． 解析　两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3. 答案　3 7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4. 答案　4 8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________. 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8. 答案　8 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1. (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝. 10．(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 解　(1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn， ①－得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， Sn＝，Sn＝ (2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的kN＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， a1≠0，2qk＝qk－1＋qk＋1. q≠0，q2－2q＋1＝0，q＝1，这与已知矛盾． 故数列{an＋1}不是等比数列．11．在正项等比数列{an}中，已知a1a2