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化归与等价变换 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 化归与等价变换 求三角函数y=sin(2x-)的单调递增区间。 x∈[kπ-,kπ+] 求y=9x+2×3x+1的值域。 y∈[1,+∞) 若y=x+b与x2+y2=1有两个不同的交点，求实数b的范围。 b∈(-,) 求函数y=的单调递增区间和图像。 y=1-=x∈(-∞,-1)和（-1,+∞）a，在x∈R时恒成立，求a的取值范围。 ≥2=a2 求函数y=cosx+sinx图像的对称中心。 y=2sin(x+)=(kπ-,0) 已知椭圆长轴、短轴和焦距之和为8，求长半轴长的最小值。 a+b+c=4=b+c=4-a b2+c2=a2=(b+c)2=a2+2bc=b+c=8-4a 4-a≥2=a2+8a-16≥0=a≥4-4 已知抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围。 没有一条与x轴相交=Δ1=(4a)2-4(3-4a)0且Δ2=(a-1)2-4a20且Δ3=(2a)2+8a0 =a∈(-,-1) ∴a∈(-∞,-]∪[-1,+∞) 若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。 解： 令，则要使它对均有，只要有 或。 点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。 某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少米时用料最省？（精确到0.001m） 8=xy+x2=y=-,x∈(0,4) L=2x+2y+x=(+)x+≥4 当x≈2.343m,y≈2.828m 专项练习： 求函数y=的单调区间。 y=1-=x∈(-∞,-2)和（-2,+∞）)2+≥ 求函数y=的值域。 y≥2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间（-∞,0）上是增函数，且f(2a2+a+1)f(-3a2+2a-1)，求a的取值范围。 2a2+a+13a2-2a+1=a∈(0,3) 求不等式（log2x）2-5log2x+6≥0的解集。 x∈(0,4]∪[8,+∞）)-1 （1）求f (x)的最小正周期； f(x)=2sin(2x+),T=π （2）求f（x）在区间[,]上的最大值和最小值。 2x+∈[,]=x=时fmax=2；x=时fmin=-1 已知平面向量=(,-1),=(,). (1)证明：⊥; (2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2-3），=-k+t，