第5章 向量空间.ppt

第5章 向量空间 §5.1　向量空间的定义和例子 1. 引例―――定义产生的背景 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 3. 进一步的例子――加深定义的理解 4.　简单性质 5.2 子空间 5.2.1 子空间的概念 定理5.2.1 例1 例4 定理5.2.2 5.2.2子空间的交与和 5.3向量的线性相关 5.3.1 线性组合与线性表示 5.3.2 线性相关与线性无关 例1 命题5.3.1 命题5.3.4 5.3.3 向量组等价 定理5.3.6 (替换定理） 5.3.4 向量组的极大线性无关组 例5 5.4 基和维数 5.4.1 子空间的生成元 例1 例2 定理5.4.1 5.4.2 向量空间的基 例3 定义２ 定理5.４.２ 定理5.４.４ 5.4.3 维数定理 定理 5.4.7 5.5 坐 标 5.5.1 坐标的概念及其意义 例1 5.5.2 过渡矩阵 例4 5.5.3 坐标变换公式 例5　 5.6向量空间的同构 5.6.1 同构映射 5.6.3 向量空间的同构 5．7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 5.7.1 矩阵的行空间与列空间 5.7.2线性方程组的解的结构 如果两个向量空间 与 之间可以建立一个同构映射,那么就说 与 同构,记作 . 定理1 设 ，则 。 定理2 向量空间的同构是一个等价关系. 定理3 向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示. 命题5.3.2 如果向量?可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么?可以由 线性表示. 命题5.3.3 如果向量组 线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关. 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么β一定可以由 线性表示. 定理 5.3.5 向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合. 定义3 设 和 是向量空间V的两个向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,而每一 也可以由 线性表示, 那么就说这两个向量组等价. 例4 向量组 ?1=(1,2,3), ?2=(1,0,2) 与向量组 β1=(3,4,8), β2=(2,2,5), β3=(0,2,1) 等价. 等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价. 设向量组 线性无关,并且每一 都  可以由向量组 线性表示,那么r≤s, 并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换后所得的向量 与  等价. 推论5.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。 (1) 　线性无关； 定义4 向量组 的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果 (2)　每一 ，j = 1,…, n,都可以由 线性表示。 看F3的向量组 在这里 线性