线性代数D冬2008-2009.doc

第 页 ( 共 页 ) 注：教师应使用计算机处理试题的文字、公式、图表等；学生应使用水笔或圆珠笔答题。 第 页 ( 共 页 ) 上海大学2008 ～2009 学年 冬 季学期试卷 课程名： 线性代数D 课程号： 学分： 4 应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 应试人 应试人学号 应试人所在院系 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 得分 填空（每空2分，共20分） 1. 设，则= 。 2．如果为3阶正交矩阵，而且，则 -8 , 0 。 3．实对称矩阵。当 2 ，正定；当，则其规范形为。 4． 3阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成一个6维的线性空间，它的一个基 为。 5. 设矩阵非零，且线性方程组有解向量 ， 则 4，7 1 。 6.设3阶矩阵的特征值为，则的伴随矩阵与对角矩阵相似。 成 绩 二、简答题（每小题5分，共10分） 7．试叙述初等变换的定义。 8．试叙述非齐次线性方程组有解、有唯一解、无穷多组解的充分必要条件。 7．解：下面三种运作称为矩阵的初等行（列）变换: （1）交换两行（列）； （2）以数乘以某一行（列）的每个元素； （3）把某一行（列）每个元素乘以数加到另一行（列）对应的元素上。 矩阵初等行、列变换统称为矩阵初等变换。 （答对一个2分，答对二个4分） 8．解 有解充分必要条件是； 有唯一解充分必要条件是； 有无穷多组解充分必要条件是； （答对一个2分，答对二个4分） 草 稿 纸 10．（10分）已知 , 而且 求X.。 解 由有 因为，所以 由此得 草 稿 纸 三、计算题（共5题，58分） 9．（10分） 已知行列式 。 求值。 解 每行提取公因子 第一行，第一行2倍，……，第行倍加到第上，得 = = 12．（14分）已知二次型，如果二次型对应的实对称矩阵的行列式值为20,对角线元素之和为9。 1）求（4分）； 2）求一个正交变换X=PY把二次型化为标准形（10分）。 解：1），有=20，所以 （4分） 2），所以特征值为5，2，2 当时，特征方程解为 当时，特征方程两个正交解为为 所以 草 稿 纸 11．（12分）已知非齐次线性方程组 有解。求方程组的通解。 解： 因为为方程组前，所以（将带入到第三个方程中）。 因为 当时，， 方程组有解， 当时，， 方程组有解， 四、证明题（2题，共12分） 14．（6分）设元非齐次线性方程组满足，且为线性方程组的线性无关解，求证 （为任意常数）为方程组的通解。 解 因为是线性方程组的解，所以 ， 是的解。又线性无关，则线性无关。这是因为，如果有数使 ， 则有 。 由于线性无关，可知，即线性无关。