《高等数学》1章讲义.docVIP

函数、极限与连续 ◆预备知识：MATLAB使用入门 MATLAB是一种功能强大的科学计算软件。 窗口环境：P3 MATLAB的命令形式：P3—P6 第二节 函数 一、 函数的概念；P6 ◆定义：设D有两个变量x,y，如果变量x在其变化范围内任取一个确定的值时，变量y按照一个对应规则f有唯一的一个数值与之对应，,则称y为x的函数，记为： 并称x为自变量, y为因变量（或函数），f为对应关系或对应法则 使函数有意义的全体自变量x的取值范围称为函数的定义域，记为D。一般由区间表示 所对应的函数值的全体，称为函数的值域，记为W。 例题1：求下列函数的定义域： 　　⑴；　　⑵；　　◆⑶ 解：⑴对，要求，即；对，要求且，即且；取公共部分，得函数定义域为． ⑵对，要求，即，得函数定义域为． ⑶对，要求≠0，即，得函数定义域为: 例题2：函数的定义域是　　　　　． 解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即．取公共部分，得函数定义域为． 例题3：设，求＞ 例题4：函数，则 。 解：当时， ◆例题5：设，则　　　　　． 解：设，则，得 　　故． ★决定函数的两个要素： 函数的定义域D； ②函数的对应法则f 例题：下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A． B． C． D． 解：A, D两个选项中的每对函数的定义域都不同，B选项中,虽然定义域相同，但是对应规则不同，而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确． 二、 函数的表示法；P7 1、解析法：即用公式表示函数 2、图形法：即用绘图描画函数特征 例：作出下列函数的图像： 1、 2、 3、 3、表格法：即用列表格反映函数的关系 二、 函数的几种属性 1、有界性：｜f(x)｜≤ P6 2、奇偶性： 若对任意，有，则称为偶函数。 若对任意，有，则称为奇函数。 若对任意，有，且则称为非奇非偶函数 奇函数的图形关于原点对称．偶函数的图形关于轴对称．P5 周期性：f(x±T)＝f(x) P6 单调性：对于任意的x1、x2∈（a，b）且当x1＜x2时，恒有f(x1) ＜ f(x2)，则称f(x)单调增加； 对于任意的x1、x2∈（a，b）且当x1＜x2时，恒有f(x1) ＞ f(x2)，则称f(x)单调减少；P4 例题1：设函数 的定义域为，则函数的图形关于（D）对称． A ， B ， C 轴， D 轴， 解：设，则对任意有 即是偶函数，故应填：图形关于轴对称． 例题2：函数的图形是关于（ ）对称。 A. y=x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 解： 所以是偶函数， 所以选项C是正确的。 例题3：判断下列函数的奇偶性： 　　⑴；　　　　⑵；　　　　⑶． 解：⑴对任意有 可知是奇函数． ⑵对任意有 可知是奇函数． ⑶对任意有 可知是偶函数． 例题4：试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数；证明设和都是奇函数，即对任意； 令：；； 则： 即： 例题5：试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数． 证明：设是偶函数，是奇函数，即对任意 有； 令 ，则对任意　　　有 ，由此可知是奇函数，证毕． 三、基本初等函数 基本初等函数指以下几种类型：（见P7）并指出它在今后学习中的重要性。P7 常数函数：； 幂函数： 指数函数：； 对数函数： 三角函数： 反三角函数： 例题1：函数的反函数是（ ）。 A. y=lnx+1 B. y=ln(x+1) C. y=lnx-1 D. y=ln(x-1) 四、复合函数、初等函数P10 定义：设两个函数，如果对于x所对应的u的值，函数有定义，则y通过u的联系也是x的函数，称这个函数为由与复合而成的复合函数，记为：， 这里x是自变量，y是因变量，u是中间变量。 【简单地说：复合函数就是函数的函数】 如函数 可以分解，，，．分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积． 例题1：已知，求． 解：方法一：设，则，得　　　 即，由此得： 方法二： 将看作新的变量，得，同理 五、会列简单的应用问题的函数关系式． 说明函数在以后学习的作用 例题1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，求体积与底半径或高的关系。 解：设圆柱体高为h，底半径为r ∴ 又因为圆柱体体积为 ∴ 或 例题1：某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的表面积与底半径或高的关系是什么？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为