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教案 教师：__________ 科目; __________ 学生：________ 上课时间：________ 常用逻辑用语 命题及其关系,充分条件与必要条件 ★ 知 识 梳理 ★ 1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题。 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。 （2）复合命题的真值 “非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p或q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注： 1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 2．（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，，_ 和_条件的否定_____，的否定和结论的否定，分别记为“┐”和“┐”，则命题的四种形式可写为： 原命题： “若若” 逆命题： “若若” 否命题： “若 ┐是 ┐” 逆否命题： “若 ┐是 ┐” 特别提醒：可以发现： （1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示： （2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系. 4. 用反证法证明的一般步骤是： (1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 特别提醒： 1、适宜用反证法证明的数学命题： (1) 结论本身以否定形式出现的命题. (2)关于唯一性、存在性的的命题. (3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题. 2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾. (3)与假设矛盾. (4)自相矛盾. 如果“若则”为真, 记为, 如果“若则”为假, 记为. 6．若则是的充分, 是的必要___ 7．判断方法： （1）定义法： ① p是q的充分不必要条件　② p是q的必要不充分条件 ③ p是q的充要条件　　 ④　p是q的既不充分也不必要条件 （2）集合法： 设P={p}, Q={q}, ①　若__ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. ②　若___ P=Q _______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ③　若______ P Q且Q P _______， 则p是q的既不充分也不必要条件. （3） 逆否命题法： ①q 是p的充分条件不必要条件p是q的______充分条件不必要条件_ ②q 是p的必要条件不充分条件p是q的___充分条件不必要条件 ③q 是p的充分要条件p是q的__________充要条件_____ ④q 是p的既不充分条件与不必要条件p是q的__既不充分条件与不必要条件_ 特别提醒： 1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P={p}, Q={q}, ① 若p是q的充分不必要条件，则PQ ② 若q是p的必要不充分条件，则PQ ③ 若P=Q ，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ④ 若P Q且Q P， 则p是q的既不充分也不必要条件. 2、 证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，是命题的什么条件. 2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明. 3.重难点：. (1) 与命题相关的判析 问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？ ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③“一个数不是正数就是负数”； ④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”； ⑤“为有理数，则、也都是有理数”； ⑥ “作∽”. 问题2: 下列四个命题中真命题有哪几个? ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全