周期性与抽象函数.ppt

* 函数的周期性和抽象函数 1.定义：若对任意的x，都有f(x+T)=f(x)(T≠0),则说函数f(x)是周期函数，T是它的周期； 2.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),(ab),则f(x)是以T=a-b为周期的周期函数； 3.若f(x+a)=-f(x),则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数； 4.若f(x+a)=b/f(x),则f(x)是以T=2a为周期的周期函数 6.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(a+x)=f(a-x),又关于直线x=b对称即f(b+x)=f(b-x)(ab),则f(x)是以T=2a-2b为周期的周期函数. 5.若f(x)满足f(x+a)=[1-f(x)]]/[1+f(x)], 则f(x)是以T＝2a为周期的周期函数 7.若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称；特别地，若有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x+a对称. 7.若函数f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)都成中心对称，则f(x)是以T=2(a-b)为周期的周期函数. 如f(x)=sinx点O(0,0)和点(π,0)对称, 它的周期为2(π-0)= 2π 注：f(x)的图像关于点M(a,0)对称的条件是f(x)=-f(2a-x) 9.熟记函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=Asin(ωx+φ)的周期. 8.若函数f(x)图象关于直线x=a对称即f(x)=f(2a-x),又关于点M(b,0)对称,即f(x)=-f(2b-x),则f(x)是以T=4(a-b)为周期的周期函数 如f(x)=sinx关于x=π/2对称，又关于点O(0,0)对称，它的周期为4(π/2-0)= 2π 1. 已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，求证：f(x)为偶函数； 2.已知函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x)对x∈R均成立，且f(x)为偶函数,求证f(x)是周期函数. 3.已知偶函数f(x)的周期为4，求证：f(x)的图象关于直线x=2对称 4.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2. 求f(x)在Ik上的解析表达式 已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且0x≤2时，f(x)=2x-1,求6x≤8时f(x)的解析式 f(x)=(x-2k)2 f(x)=2x-13 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)=f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数 D 1.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y),则此函数可以是f(x)=kx; 2.若函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)＋m,则此函数可以是f(x)=kx+b; 抽象函数 例1.若函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y), 且当x0时，y0,证明(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是增函数 3.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),则此函数可以是f(x)=logax; 另：对数函数也可这样给出：f(x)-f(y)=f(x/y) 例2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(x)+f(y)=f(xy),且x1时y0,证明f(x)是增函数 4.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0, 则此函数可以是f(x)=ax 5.若函数f(x)满足f(x) f(y)=f(xy), 则此函数可以是f(x)=xn. 另：指数函数也可这样给出：f(x)/f(y)=f(x-y) 例3.若函数f(x)满足f(x)f(y)=f(x+y),且f(x)不恒为0, 且x0时，y1.证明f(x)是减函数 四、练习题二： 5.已知f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,求f(24);（3）若x0时，f(x)0,且f(1)=-0.5,求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值. [-3,1] 6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),又f(2)=1且x1时，f(x)0;(1)证明f(1)=0;(2)求证:f(x/y)=f(x)-f(y);（3）求f(4)的值；(4)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围. f(4)=2 3x≤4 7.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x