07南京信息工程大学高代.docVIP

南京信息工程大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试 425 高等代数 试 题 （所有答案均须写在答题纸上，写在试题上无效） 填空题（本题共五题，每小题6分，满分为30分）： 1．设三阶方阵的特征值为－2，3，5，则的行列式=----------------；的特征值是----------------；的特征值是------------------． 已知=，=，A=，则=----------------------． 六阶行列式的项带有 号；若带正号，则= ；= ． 设为阶实对称矩阵，则为正定矩阵的充要条件是（至少写出3条）： ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------． 设矩阵=,则=-------------． 二、（本题满分为14分）设，，，为数域上多项式， ，且ad-bc≠0,证明： ．其中表示与的首项系数为1 的最大公因式． 三、（本题满分为10分）设向量组线性无关，证明向量组线性无关． 四、(本题共4题,每小题4分,满分为16分)设的伴随矩阵, 1. 求矩阵的行列式，并证明矩阵可逆； 2．求矩阵的行列式； 3. 求矩阵和； 4．证明=是矩阵的一个特征值，并求矩阵的在实数域上的特征子空间． 五、计算下面阶行列式（本题满分12分）： 六、（本题共两题,每题10分,满分为20分）已知线性方程组： 1. 与为何值时，线性方程组无解？ 2. 与为何值时,线性方程组有无穷多解? 当有无穷多解时,求出方程组的全部解． 七、（本题共三题,每小题6分，满分为18分）的特征值为 ==1，=2；矩阵的属于特征值==1的两个线性无关的特征向量 是，， 1．求矩阵的属于特征值=2的一个特征向量； 2. 求正交矩阵，使为对角矩阵； 3．求矩阵． 八、（本题满分为16分）设A是数域上线性空间的一个线性变换，，证明：若，A A 线性无关，而，A A线性相关，则由，A A 生成的子空间A A是A的不变子空间，且是包含的最小的A的不变子空间． 九、(本题共2题,每小题7分,满分为14分) 1. 证明：如果是一个次数大于0的整系数多项式的有理根，并且与互素，则是整数． 2. 设=是整系数多项式,证明：如果是奇数，则 在有理数域上不可约． 第 1 页 共 3 页