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数列中的数学思想和方法 数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想， 一、方程思方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法. 已知等差数列的公差是正数，且 ，求其前项和。 解：由等差数列知：，从而， 故是方程的两根，又，解之，得：。 再解方程组：， 所以。 法一 法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二 点评：本题利用了这一性质构造了二次方程巧妙的解出了，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个数。 点评基本量法：性质法 技巧 备用：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由已知得解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q， 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2. 故Tn＝ln 2. 方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． 函数思想 函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法. 例已知等差数列中，，则数列前项和最大 寻求通项解， 又， 令，所以数列首项为正公差为负前项为正从第项开始为负项的和最大。 巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性 解， 由等差数列下标的性质可得： ， 又 当时取得最大值， 令，所以数列首项为正公差为负前项为正从第项开始为负项的和最大且2：从函数的代数角度来分析数列问题 解， 又， 当时取得最大值解，数列对应的图象是过原点的抛物线上孤立的点，， 对称轴为且开口向下 当时取得最大值设数列{an}的公差为d， ∵S10＝S20， ∴10×29＋d＝20×29＋d， 解得d＝－2， ∴an＝－2n＋31， 设这个数列的前n项和最大， 则需 即 ∴14.5≤n≤15.5， ∵n∈N*，∴n＝15. 方法二　设数列{an}的公差为d， ∵S10＝S20， ∴10×29＋d＝20×29＋d， 解得d＝－2. 等差数列{an}的前n项和Sn ＝n2＋(a1－)n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10＝S20，知x＝＝15是其对称轴， 由d＝－2知二次函数的图象开口向下， 故n＝15时Sn最大． 中，，求数列的最大项。. 小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程. 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．分类讨论思想 复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题. 例、已知等差数列的前项的和，求。 解：当时，； 当时，； 综合 可知。 点评：此例从分的体现了与的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是中脚码必须为正整数。 备用：已知数列的前项和，试求数列的前项和的表达式. 分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨． 解:当n=1时,; 当n≥2时, . ∴当1≤n≤9时, ,当n≥10时,.从而 当1≤n≤9时, = =; 当n≥10时, = = . ∴= 整体思想 整体思想就是从整体着眼,通过问