第01章_矢量分析和场论基础.pptVIP

矢量分析和场论基础;1.1 标量和矢量 1.2 矢量的运算 1.3 标量场和矢量场 1.4 特殊正交曲线坐标系 1.5 场论 1.6 拉普拉斯算子 1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理;1.1 标量和矢量;1.2.1直角坐标系中矢量的表示;1.2.2矢量的运算;2.矢量的标积;3.矢量的矢积;矢量矢积的坐标表示为 ;例 1.1 计算由矢量A、B和C构成的平行六面体的体积，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。 ;例 1.2 给定三个矢量 A=ex+2ey-3ez, B=-4ey+ez, C=5ex-2ey，试求 和 。;1.3 标量场和矢量场;1.4.1直角坐标系;2.距离矢量 ;体微分元 ;1.4.2圆柱坐标系;2.直角坐标与柱坐标之间的关系;;;1.4.3球坐标系;2.直角坐标与球坐标之间的关系（见图1-15~16）。;体微分元 ;4.单位矢量的变换 ;例 1.3 在圆柱坐标系中一点的坐标为 { }= {4,2?/3,3}，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。;例 1.4 在柱坐标系中点 P(3,?/6,5)有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一点Q(4,?/3,3)有一矢量 B = ，在点 S(2,?/4,4) 处有矢量 C=A+B，试求C矢量。;同理， Q点矢量B的直角坐标表示为;1.5 场论;;2.矢量场的矢量线 ;共线矢量 dr 与 A(x, y, z) 满足;求解该微分方程，得到矢量线方程为;1.5.2标量场的梯度和方向导数;设位移元 dl 的方向余弦为{ }，即 ;引入梯度算子 ;梯度在柱坐标系下的表达式 ;梯度运算的基本公式：;例1.6 求标量函数u(x, y, z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2, 3, 1)处，沿方向 的方向导数。;补充例题：;1.5.3矢量场的通量和散度;对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为 ;2.散度的定义 ;4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 ;散度的有关公式：;5. 高斯散度定理;例1.7 设有一矢量场 ，（1）求该矢量场的散度；（2）取中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。;矢量A对单位立方体表面的积分为;补充例题：;如图，式中L是空间有向闭合曲线，dl是曲线L上的线微分元， 是在空间点P处矢量A与dl的夹角。;旋度的定义;可以看出，当面元ΔS沿某特定方向n时，环量密度将取得最大值；定义该最大值与n之积构成的矢量???为矢量场A的旋度，记作rotA或 ，即 ;柱坐标系下的表达式 ;斯托克斯定理 ;例 1.8 设有一平面流速场;旋度的有关公式：;课堂作业;补充例题：;一、标量拉普拉斯运算;二、矢量拉普拉斯运算;1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理;第三类场 满足 ;若矢量场 A 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场 A 可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。 ;对于在介质不连续的边界上，描述矢量场基本方程的微分形式失去意义，必须从矢量场的通量和环量去研究，即 ;第一章 小结;五、场论;4、矢量场的环量和旋度;1、标量拉普拉斯运算