二项式系数的性质教学课件精品.pptVIP

第一章 计数原理 5.2 二项式系数的性质 北师大版 选修2-3 一.复习引入 1.二项式定理及其特例： 2.二项展开式的通项： 3.二项式系数，依次为： (a+b)1 …… (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n 二.新授 计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … … … … … 1 6 15 20 15 6 1 … 1 7 21 35 35 21 7 1 (a+b)1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …………………… 此表叫作：二项式系数表 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n ……………… …………………… ……………… 1 二.新授 杨辉三角 人物介绍 杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有 《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通 变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘 奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。 早在1261年，“杨辉三角”在其编著的《详解九章算法》 中出现，此书还说明了表内除“一”以外的每一个数都等于 它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书， 且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪。 在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的 （1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得 中华民族自豪的。 三.探究成果展示 (a+b)1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …………………… (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n ……………… …………………… ……………… 每行两端都是1； 除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和.即： 性质1. 1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是 (1+x)n (1+x)它的展开式中xr项的 系数可以表示为 2.通过以上两个问题你联想到了什么？ 思考如下问题： 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是： 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 f(r) O r f(r)= 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 f(r) O r 22 24 26 28 30 32 34 36 f(r)= ……………… 性质2.对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …………………… …………………… 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 f(r) O r f(r)= 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 f(r) O r 22 24 26 28 30 32 34 36 f(r)= 二项式系数的增减性及最大值 性质3. 即：当 为偶数时， 最大为 ，二项式系数 最大 二项式系数的增减性及最大值 当 为奇数时， 最大为 ，且当 时 二项式系数 最大； 性质3. 证明： (P27)各二项式系数和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法). 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6