稳定性5：3.1 -3.3.pdfVIP

第三章 时变（非自治）系统的稳定性 3.1 非自治系统运动稳定性的特点 3.2 时变正定函数，KL 类函数与稳定性定义的重新描述 3.3 稳定性定理 3.4 线性时变系统稳定性与一次近似 3.5 逆定理 3.6 非自治系统类不变集定理 3.8 小结 非自治系统的微分方程中，状态的导数不仅与状态有关，还与时间有关，这样系统轨 线与初始时刻密切相关。本章将介绍作为非自治系统李雅普诺夫候选函数的时变正定函数的 性质、K 类函数和 KL 类函数，以及非自治系统的李雅普诺夫稳定性定理、一次近似，逆定 理与非自治系统类不变集定理。 3.1 非自治系统运动稳定性的特点 首先，我们分析自治与非自治系统在解的基本特征上的差异。形式上来看，自治与非自 治系统之差表现在方程右端是否显含t ，对于自治系统，解的性状与初始时间t0 无关，而对 于非自治系统，解的性状与初始时间t0 有重要关系，即不同初始时间t0 确定的解，可能有 定性的差异。 图3.1.1 现在来证明以上论断。对自治系统(5.3.3) n x f (x ),x =∈R 若初始时间 及 不同，但初始状态 1 2 t01 t x 相同，它们的解x (t) 与x (t) 的性状是完全相同的， 02 0 只是起始时间不同而已，如图 3.1.1 所示。函数 1 2 x (t) 与x (t) 有关系： 1 2 x (t −T ) x (t),T t02 −t01 现在来证明这一事实。因 1 x (t) 是初值问题 x f (x ),x (t 01 ) x 0 的解，故 1 d 1 1 1 x (t) f (x (t)), x (t01 ) x0 (3.1.1) dt 现证 2 1 x (t) x (t −T ) 是初值问题 x f (x ),x (t 02 ) x 0 （3.1.2 ） 的解。首先，当t t 时, 2 1 1 ，x 2 (t) 满足初始条件，接下来 02 x (t02 ) x (t02 =−T ) x (t01 ) x0 要证x 2 (t) 满足微分方程（3.1.2 ），由式（3.1.1 ）可得 d 1 1 x (t −T ) f (x (t =−T ))