高2013级高考数学 查漏补缺提升训练教师卷1.docVIP

查漏补缺提升训练1 1.已知函数（1）若求的值域；（2）若为函数的一个零点，求的值. 2.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球． (1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； (2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； (3)设X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望． 解析　(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则P(A)＝＝.即取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为. (2)设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则 P(B)＝＝＝.即取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为. (3)X的取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P X的数学期望EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，bR)． (1)若函数f(x)在x＝1处有极值为10，求b的值； (2)若对任意a[－4，＋∞)，f(x)在x[0,2]上单调递增，求b的最小值． 解析　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 则或. 当时，f′(x)＝3x2＋8x－11， Δ＝64＋132＞0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点． 则b的值为－11. (2)解法一　f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a[－4，＋∞)，x[0,2]都成立， 则F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a[－4，＋∞)，x[0,2]都成立． x≥0，F(a)在a[－4，＋∞)单调递增或为常数函数， 所以得F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0对任意的x[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)max， 又－3x2＋8x＝－32＋≤， 当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，得b≥， 所以b的最小值为. 解法二　f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a[－4，＋∞)，x[0,2]都成立， 即b≥－3x2－2ax对任意的a[－4，＋∞)，x[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)max， 令F(x)＝－3x2－2ax＝－32＋. ①当a≥0时，F(x)max＝0，b≥0； 当－4≤a＜0时，F(x)max＝，b≥. 又max＝，b≥. 综上，b的最小值为.中，是的中点， 将左图沿直线折起，使得二面角为如右图. 求证：平面 求直线与平面所成角的余弦值. （1）取中点，连结,则（2分），由余弦定理知，（4分），又平面,平面; (6分) （2）以为原点建立如图示的空间直角坐标系，则, ，（8分），设平面的法向量为, 由得,取,则. （11分） 故直线与平面所成角的余弦值为. （12分） 5.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为． （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围． 1．13分） （Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为．， 则 ． 代入 ， 解得 ．．．，． 依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得 ． …7分 则 ， ，． …8分 ． …………9分 因为 ∽， 所以 ………11分 ． ……12分 6.已知数列中，，对一切，，。 （I）求证：且；（II）证明：。 证明：（1）∵，∴， ∴ ，∴， 若存在，则，由此可推出，此与矛盾， 故。 ∵ ，∴ 。 （2）由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∴ 。 7