20.3.1菱形的判定.pptVIP

A B C D O E 2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形 3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形 B C A D O E M N 矩形与菱形 定义 菱形 矩形 有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 具有平行四边形的一切性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等 对角线相等且平分的四边形 根据菱形的定义,可得菱形的判定的方法1： ∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 数学语言： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 还有其他么方法吗? 探究一 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 中，AC ⊥ BD ABCD ABCD 求证： 是菱形 A B C D O ∟ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形 （平行四边形对角线互相平分） （垂直平分线的性质） （有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形） ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， 判定方法2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD ∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形 A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 数学语言 例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F， 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC（ ① ） ∴ ∠1＝∠2．（ ② ） ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ ③ ）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ ） 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ） 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由 猜想：有四条边相等的四边形是菱形。 A B C D O 探究二 命题：有四条边相等的四边形是菱形。 已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D A B C 证明： ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形 （有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形） （有两组对边相等的四边形是平行四边形） 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=DA A B C D 菱形ABCD ∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 四边形ABCD A B C D 判定方法3： 数学语言 拓 展 由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法： 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 你能不能用逻辑推理的方法进行证明呢？． 已知：在四边形ABCD中,AC、BD分别平分一组对角. 求证：四边形ABCD是菱形 证明 ∵ BD平分一组对角. ∴ ∠1＝∠2． ∠3＝∠4 ∵ BD=BD ∴ △ABD≌△CBD（ ① ） ， ∴ AB=CB，AD=CD 同理可得△ADC≌△ABC ∴ AD=AB,CD=CB ∴ AB=CB=AD=CD ( ② ) ∴ 四边形ABCD是菱形（ ③ ） 1 2 3 4 判定方法4： 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD分别平分一组对角. ∴ □ABCD是菱形 菱形ABCD A B C D 四边形ABCD 数学语言 AC、BD 分别平分 一组对角. 1 2 3 4 菱形常用的判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。 +邻边相等 = +对角线线互相垂直= 四条边相等+ = ④每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 四个角被对