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2o 二阶线性常系数微分方程 考虑二阶线性常系数方程 (9) 的求解问题 . (1) 二阶线性常系数齐次方程的求解 设齐次方程 (10) 其中 p , q 为常数 . 下面考虑求 (10) 的两个线性无关的特解 设方程 (10) 有形式 的解 , 代入方程 (10)有 即 待定常数 λ应满足方程 (11) 方程 (11) 称为齐次方程 (10) 的特征方程 . 为求方程 (10) 的两个线性无关的解 , 需分别 对特征方程 (11) 的情况进行讨论 . (a) 如果特征方程 (11) 有两个不同的实根 设 是特征方程 (11) 的根 , 则 是方程 (10) 的解 . 由于 常数 , 是线性无关解 , 所以方程 (10) 的通解 (b) 如果特征方程 (11) 有两个不同的复根 设两个复根 : 则有解 为了获得方程 (10) 的两个实线性无关解 , 利用定理 2 知 都为 (10) 的解 并且 y1 , y2 是 (10) 的实函数解 , 同时是线性无关的 . 所以方程 (10) 的通解 (c) 如果特征方程 (11) 有相等的实根 此时根 于是 是方程 (10) 的解 . 为了获得 (10) 的另外一个与 y1(x) 线性无关的 解 , 采用常数变易法 . 设 (10) 有形如 的解 , 其中 c(x) 为待定函数 . 则 代入方程有 积分得 所以 是方程 (10) 的解 , 且与 y1(x) 线性无关 . 所以方程 (10) 的通解 计算齐次方程 (10) 的通解的方法: 设齐次方程为 (1) 写出特征方程 (2) 根据特征方程的情况写出方程的通解 (a) 有两个不同的实根: 通解: (b) 有一对共轭复根: 通解: (c) 有两个相等的实根: 通解: 例 求方程 的通解 解 特征方程 特征根 ( 二重根 ) 所以方程的通解 例 求方程 的通解 解 特征方程 特征根 所以方程的通解 解 特征根 所以方程的通解 例 求方程 满足初始条件 的特解 . 特征方程 由 由 又 所以特解 例 一圆柱形浮体半径为 0.25 m , 在水中浮动 . 设 它的对称轴始终垂直于水面 , 且水面是平静的 .今 将它轻轻按下再放开 , 浮体作周期 2 秒的上下震 动 , 设忽略阻力 , 求浮体的质量 . 解 s ? 0 h s 建立坐标系如图所示 , 原点O 为浮体平衡时浸水线的位置 . 当浮体下浮位移 s 时, 由牛顿第二定律得 原理知: 由阿基米德 由于平衡时 , 所以有 即 ( 二阶线性齐次方程 ) 特征根: 特征方程: 方程的通解 此时的运动周期 现由 T = 2 , 所以有 (2) 二阶线性常系数非齐次方程的求解 设非齐次方程 ( p , q 常数 ) (11) 从非齐次方程解的结构理论知 , 现只需讨论求 方程 (11) 的一个特解的方法 . 下面介绍用待定系数法求方程 (11) 的特解的方法 (a) 为实常数 , Pn(x) 为 n 次实 系数多项式 设 (11) 有形式 的解 , 其中 Q(x) 是一待定多项式 由 代入方程有 整理得 (12) 1) 如果 ? 不是特征方程 的根 则 取 其中 为待定系数 (12) 代入 (12) 式确定 使 是方程 (11) 的解 ( ? 不是特征根情形的特解形式 ) 2) 如果 ? 是特征方程 的单根 则 此时 , 为使 (12) 式的左边为一 n 次多项式 , 代入 (12) 式确定 使 是方程 (11) 的解 . ( ? 是单根情形的特解形式 ) 可取 3) 如果 ? 是特征方程 的二重根 . 则 此时 , 为使 (12) 式的左边为一 n 次多项式 , 是方程 (11) 的解 ( ? 是二重根情形的特解形式 ) 代入 (12) 式确定系数 使 可取 综合以上结论知: 其中