第4节 单调有界定理及其应用.pptVIP

对 而言 作业 习题1.4 2，4（1），5，6（2）（4），7，9 ⑶ 即构成闭区间套 总结 (1) 若单调数列的一个子列收敛，则这个数列收敛 (3)单调数列要么极限存在要么趋向到 (4) 单调数列收敛的充分必要件是有界 (2) 若单调数列的一个子列趋向于 　 则此数列趋向 (5) 闭区间套定理 §1.4单调有界定理 及其应用 定义4.1 (单调数列定义) 一、 单调有界定理 则称 是严格单调递增（递减）数列. 观察下面单调递增的有界数列 定理4.1 单调有界数列必有极限. 证明 推论4.1 (1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛； (2)若单调数列有一个子列趋向无穷 ,则此数列趋 于无穷。 (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷； (4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界。 (1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛； 注 由收敛数列的保序性可知：单调上升有上界数列的极限是该数列的一个上界，类似地，单调下降有下界数列的极限是该数列的一个下界。 例1 证 (舍去) 例2 例3 证明: 例4 研究下面三个数列的极限 解： 单调下降有下界，因此收敛。 例5 求 解： 例6 单调 有界 欧拉常数是有理数还是无理数还是个开放问题 二、 闭区间套定理 即 例 6 证明 证明: ⑴ ⑵