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数学软件在常微分方程学习中的应用 研究背景： 近几十年来，计算机发展很快，在各个领域都有广泛的应用，在数学的各个分支中也发挥了很大的作用，信息技术的发展对数学教育产生了的影响,不仅为改进数学教学提供了一种新的有效手段,而且对数学的学习、数学的理解以及数学的应用,包括课程内容的选择与组织方式等都将产生十分重要的影响.许多国家都已经开始重视并开展对计算机辅助教学的研究,并己经取得了大量有意义的研究成果-1是常微分方程 （1） 一个解。 解：要用计算机验证一个函数是方程的解，首先需要定义这个函数。然后再求它的导数，计算方程右端的值，进行化简，比较左右两端是否相等，此问题思路清楚，但计算烦琐，我们可以用计算机去进行验证。在Maple的工作窗口输入下列指令： y:=x-2*(4+x)^(1/2)-1; y-prime:=diff(y(x),x); y-right:=(y(x)-1)(2*x-y(x)+7); difference_left_right:=simplify(y_prime-y_right); 其中第一行指令定义函数y=2-1，第二行指令求y的导数，第三行指令是将函数y的右端代入方程（1）的右端，最后一行指令是计算方程两端之差，回车后Maple的输出为： y:=x → 2-1 y_prime:= y_right:= difference_left_right:=0 由输出的结果的最后一行看出，将y=2-1代入方程（1）的左右两端相等，故它是方程（1）的一个解。 从上例可以看出，应用数学软件对微分方程进行求解，更为简洁，免去了很多烦琐的步骤，更加有利于提高我们学生的学习兴趣以及培养我们的科研爱好。 研究目的： 在常微分方程的学习中，学会应用数学软件来处理一些问题，例如Maple、MATLAB等各种软件，通过计算机软件来完成一些常微分方程的求解以及探讨某些常微分方程的性态。 研究内容： 本课题主要应用Maple这一数学软件来对有关数学软件在常微分方程中的各种应用进行研究。 研究步骤： 组织课题组成员认真学习Maple软件，使组员能够运用Maple软件对常微分方程进行求解和分析，希望制作一份可用于教学的Maple软件的学习课件； 在会用Maple软件的基础上，查找其在常微分方程学习中应用的相关资料和文献； 将我们所收集到的资料汇总，并交出学习的心得体会，进而写成一篇论文，并在该过程中进一步提高我们学习的能力，培养学习数学的兴趣与爱好。 正文： Maple是解决数学问题、建立交互式技术文档、拓展资深应用的最佳助手直观易用，提供着世界上最前沿、完整、无错的数学功能。Maplesoft的产品和技术在世界范围内被几乎所有的高等研究机构和大学采用，在高校：Maple 拥有全球最多的学院用户，超过90％的高校将Maple作为必备的数学工具Maple 软件在符号计算方面尤其突出,在数值计算等其他方面功能也很强大。Maple以其良好的使用环境、 世界领先的符号计算、无与伦比的数值计算、灵活的图形和动画功能、高效的编程功能、强大的兼容性，为越来越多的学生、老师、科研工作者和工程人员所喜爱。 （1） 若，则（1）为线性，否则为非线性。这里我们考虑的情况。 通常黎卡提方程式不能够直接代公式来求得其解，但如果我们能够猜想到一个特定的解，则可以按照下列的步骤求得黎卡提方程式的通解： 首先设，对x微分一次可得 （2） 将（2）代入（1）中，可得 上式可化为 （3） 因为等号左边的第一项，也就是，为黎卡提方程式的解；因而（3）式中，等号左边第一项与等号右边第一项消去，可得 将上式左右各乘上，此式可改写成 （4） 注意（4）式是的一阶线性微分方程式，若我们设 则可解得 而黎卡提方程式的通解为： （5） 通常以纸笔来计算黎卡提方程式会有两点困难： 必须能够猜得一个解。 必须能够计算出所需的积分。 因而黎卡提方程式的计算有几分碰运气的味道。然而若我们用Maple来一步一步求解，则积分运算可以由Maple来处理。问题是，如何利用Maple来帮助我们猜想出一个解？显然，可以借用Maple的desolve（）指令来求解，那么连猜出黎卡提方程式的解A（x）的过程都不用了。 这是一个黎卡提方程