群论在固体物理中的运用(讲稿)p141-173_讲稿.docVIP

第三章 完全转动群 复习： 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。记作SO(3). 三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群， 或称为三维转动反演群。 记作O(3). 正当转动矩阵为 满足detR=1， 例如： （1）转轴为z轴（，，） （2）转轴为y轴（，，） §3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示 函数变换算符PR （3.2-5） （3.2-18） 下面构造SO(3)群的维的表示： 一定的个球谐函数，构成一个维的完备的表示空间 表示的特征标： 得到第m列的表示矩阵元 （3.2-28） 表示矩阵为 则第个表示中，转角为α类的特征标为 特征标表（示意） （2）用欧拉角表征正当转动 欧拉角的定义 任意的一个转动 等价于对固定坐标轴的转动 证明：转角相同的转动都是共轭的，有 又 即 则 用欧拉角表示的正当转动矩阵 可以验证 对应的函数变换算符为 也可以选用球谐函数构造的表示。 方向余弦及转角与欧拉角的关系 ， ， 作业18：第三章习题3 关于SO(3)群的表示： 基函数取为，构成一个维的表示空间，得到维的不可约表示。 局限性：只有奇数维的不可约表示。 §3.3 二维幺模幺正群SU(2) 二维幺模幺正矩阵u 若二维矩阵，满足 （1）； （2）det u=1 则矩阵u称为二维幺模幺正矩阵。 矩阵元之间的关系 即 以及 解得 ， 所以，二维幺模幺正矩阵写为 ， 独立参量只有3个，与三维转动矩阵相同。 u矩阵实例：二维单位矩阵， 以及 ， 二维幺模幺正矩阵构成群，称为 二维幺模幺正群，记作SU(2). 二维幺模幺正群与完全转动群 矩阵与正当转动矩阵R之间存在对应关系。 对于 ， 即 ， 下面讨论存在一个u矩阵，同样能够对于 ，得到 ，即。 （1）h矩阵 复习泡利自旋矩阵： ，， （a）h矩阵的引入 h矩阵是泡利矩阵的线性组合，组合系数为 x、y、z 即 记，则 ，， 另外 . （b）用u矩阵，对h作幺正变换： 可以写成 这样就有 实现了 具体对h作幺正变换： 由 ，，得到 记，有 或写作 与二维幺模幺正矩阵 对应的三维正当转动矩阵为 （2）R(u)的性质 （a）R(u)是实矩阵 （b）R(u)是转动矩阵（保长变换） （c）detR(u) = 1 （d）例 例1 若u是对角矩阵 ， 取，有 一般的与u对应的三维正当转动矩阵为 与对应的三维正当转动矩阵为 代入，得到 这是绕z轴转动α角的正当转动矩阵. 例2 若u为实矩阵 即、，代入对应的转动矩阵，得到 这是绕y轴转动β角的正当转动矩阵. （3）SU(2)与SO(3)同态 前面是 若有u，可以得到对应的R； 这里是 对于R，可以得到对应的u. 已知 对应的u矩阵 u与R之间存在对应关系。 2对1的同态关系： 原因： §3.4 SU(2)群的不可约表示 求SU(2)群的表示 二维幺模幺正矩阵群 群元本身就是群的一个二维表示。 记该二维表示的基为 在群元u作用下，变为 即 下面构造SU(2)群的其他维表示 基函数取为的齐次单项式： 三维表示 ，， 四维表示 ，，， … n+1维 ，，，…，， n+1维表示基函数的一般形式 其中是非负整数。 改写基函数的形式： （1）记 其中 基函数形式写为 （2）幺正表示要求增加因子 下面计算SU(2)群的各维表示矩阵 另一方面，由于 利用二项式定理 ，有 （令） 其中 这是SU(2)群2j+1维表示的矩阵元，其中 注意： 当j为整数时，，即 群元u与-u对应于同一个表示矩阵。 当j为半奇数时，. 例如：SU(2)群的群元 （对应于） 的2j+1维表示的矩阵元： 表示的性质 （1）以为基函数的表示是幺正表示，即. （2）是2j+1维的不可约表示； 取，是SU(2)群的全部不可约表示。 （3）是SU(2)群的不确实表示。 当j为整数时，，即 群元u与-u对应于同一个表示矩阵。 表示的特征标 SU(2)群的类： 具有相同本征值的矩阵，属于一类。 量子力学（复习）： （1）幺正变换不改变算符的本征值； （2）幺正变换不改变矩阵的迹（特征标）。 群元u的本征值方程 即 系数行列式为零，得到 即 群元u的本征值，只与有关；相同的群元具有相同的本征值，属于一类。 取 每一个实的值，确定了SU(2)群的一类；这一类具有相同的. 特征标计算： 取，，群元 计算第j个不可约表示（2j+1维）、具有相同的类的特征标。 表示矩阵元 得到第j个不可约表示的类的特征标 §3.5 双群（覆盖群） SO(3)群与SU(2)群同态： 其中SO(3)的群元与SU(