数值分析 张铁版 第2章 解线性方程组的直接方法.pptVIP

§2.1 高斯消去法 2.2.4 追赶法 解三对角方程组的追赶法 §2.4 向量和矩阵的范数 §2.5 线性方程组固有形态与误差分析 2.5.1 方程组的固有形态及矩阵的条件数 例 方程组 ，准确解为 常数项微小变化后， 准确解为 定义2.6 如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组，矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵. 怎样刻画线性方程组的病态性？ 如何发现判断矩阵是病态的? 如何解决和处理? 预处理方法. 例 设 则 化为 则 * 第2章 解线性代数方程组的直接法 在科学计算中，经常需要求解线性方程组： Gramer(克莱姆)法则 若方程组(2.2)的系数矩阵非奇异，则其解可表示为 记 则 2.1.1、顺序Gauss消去法 一般地,顺序Gauss消去法: 例1解线性方程组 回代求解得： 以上过程称为顺序Gauss消去法 （1）消元过程 其中 第一步：若 用 乘第一行 加到第i行中，得到 第二步：若 用… …. … … 第k步：若 用 乘第k行 加到第i行中，得到 其中 第n-1步： … … （2）回代过程 若 则 算法. 乘除法运算工作量 消元过程乘除法次数： 回代过程乘除法次数： 总的乘除法运算次数： 非零判断次数最多为： 行交换的元素个数为： 2.1.2、列主元Gauss消去法 例2 P.17例2-1 解线性方程组列主元Gauss消去算法 §2.2 矩阵三角分解方法 2.2.1 Gauss消去法的矩阵运算 Gauss消去法实际上是对矩阵进行初等行变换的结果，每一次初等行变换相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵。具体过程如下 解：由Gauss消去法 下面用矩阵描述列主元消去法 2.2.2 直接三角分解法 对矩阵的LU分解，除了采用Gauss消去法，还可以直接用矩阵A的元素表示L和U的元素，称为矩阵的直接三角分解. 求解方程组计算公式: 于是，解方程组 等价于解两个三角形方程组 矩阵的直接三角分解也称为Doolittle分解. 当需选主元时，PA=LU. 设第r-1步已完成,就有 选主元三角分解算法： 2.2.3 平方根法 应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组. 设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，则 若A为对称正定矩阵,则 在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b 并且满足 条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证可进行三角分解。 下面讨论三角分解 比较两边得到 先考虑Rn中向量的长度, 然后可定义向量(或矩阵)的范数. 为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的收敛性, 我们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的大小引进某种度量——向量(或矩阵)的范数. 2.4.1 向量的范数 (1) 正定性： 等号当且仅当 时成立； (2) 齐次性： (3) 三角不等式： 则称 为向量 的范数或模. 由(3)得 几种常用范数 (无穷范数) (1-范数) (2-范数) (p-范数) 可以验证它们都是范数. 易见前三种范数是p-范数的特殊情况 例4 计算向量 的几种常用范数 (1) 正定性： 等号当且仅当 时成立； (2) 齐次性： (3) 三角不等式： 则称 为 矩阵 的范数或模。 2.4.2 矩阵的范数 例5 计算矩阵 的几种常用范数 解：根据定义 矩阵的范数同矩阵的特征值之间有着密切的关系 *