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【lagrange定理及推论】定理5 (Lagrange定理) 设 ,如果,且,那么 证明: ,这表明在中的右陪集只有个,从而有的右陪集分解: （其中） 由引理知, 所以 . 由上等式“”知子群的阶是的阶的因子，于是可得到下面推论：设是有限群，，若，那么必是的因子。 证明：由元素生成的一个循环子群 .由Lagrange定理知,但 .推论2：设=N，则，有H的阶数只能是N的因式例：其所有子群阶数只能是1,2,5,10证：书p70|3：假定a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定a的阶是m，b的阶是n，并且（m，n）=1，证明：ab的阶是mn。证明：【群同态】例1：设..——非零实数的乘法群。首先有，,其中，可知是群同态满射（证明略），即，因为，故知，由定理2.利用群的同态基本定理，我们可以得到有关同态关系的问题。定理3—4. 设是群同态满射,于是有下列结果若 ,那么 .若 ,那么 .若 ,并ker若 且 ker.证明: (1) 表示在下的象.于是 使 ,进而 ,,因为 . 由上知 .(2) , 由(1),另外, , 于是 ，因为 即 .注意4. 在(1)的证明中,没有用到是满射的条件,但在(2)中用到了.(3) ,那么 于是 另外,由上知 ，且 （4） 由 （3），. 则 ,, .注意5. (3)和(4)的证明都没有用到是满射的条件.【子群的判定】设为任意一个群，那么由的单位元组成子集，自然有，另外本身也有，所以一般有两个子群，统称它们为的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。是整数加群，而一切偶数构成的集合为，其中：，那么关于整数的加法有明示1：任取一个整数，那么为一切的倍数构成的集合，可知.设表示一切可逆阶方阵组成的集合，用矩阵通常的乘法可知：中方阵对乘法封闭（任二个阶可逆阵之积仍可逆）中方阵满足乘法结合律单位元为的逆元为的逆阵所以是个群。若令为中的阶数乘阵，那么是的非空子集，且必有。设为三次对称群，令和三次交错群。易知.设模剩余类加群。令,可知,可知 思考题2：的二个子群和有可能会吗？