数学物理方法第04章习题.docVIP

第四章 习题答案 4.2-1 解：令，则，， 所以， 而的极点为， 因为，所以在圆外，而在圆内。 4.2-2 解：令，则，， ， 所以， 令的极点有（四阶），，（一阶） 因为，所以，和在圆内。 但此式求解非常困难。 可以利用留数的定义来求解，即将在点Laurent展 开，就等于展开式中项的系数。 而 同理： 所以： 所以，当时，项的系数为： 故 4.2-3 解： 令，则，， 所以： 设，则其奇点为：， 其中在圆内，且均为一阶极点，所以： 则： 4.2-4 解：令，则 所以： 令，则，， 所以： 设，则其奇点为：， 其中在圆内，且均为一阶极点，所以： 则： 4.2-5 解：令，则，， 所以： 设，为其阶极点。 则 所以： 4.2-6 解：因为为偶函数， 所以。 令， 即： 所以： 在上半平面的奇点为（2阶极点）。 所以： 4.2-7 解： 令，其极点为：，，， 其中，在上半平面。 又因为在上半平面和实轴上，当时， 所以： 4.2-8 解：，其在上半平面的极点为，且为阶。 其留数为： 又因为在上半平面和实轴上，当时， 所以： 4.2-9 解：，其在上半平面的奇点为，（均为一阶）。 又因为在上半平面和实轴上，当时， 所以有： 4.2-10 解：设，因为，所以比的次数至少低2次，满足要求。 下面求的奇点， 其在上半平面的奇点为：，共有个，均为一阶极点。 同理有： …… 所以： 4.2-11 解：设，满足在上半平面和实轴上当时，一致趋于零。 而 即： 在上半平面的极点为和 所以： 4.2-12 解：设为偶函数，且满足约当引理的条件，即时，在实轴 及上半平面，一致地趋于零。在上半平面的奇点为和。 而 所以 4.2-13 解：令,满足当时，在实轴及上半平面，一致地趋于零。 在上半平面的奇点为且为2阶极点。 所以: 所以有： 4.2-14 解：令为奇函数，且当时，在实轴及上半平面，一致地趋 于零。而在上半平面的奇点为一阶极点。 所以： 而，则有： 4.2-15 解：令，它在实轴上有奇点 设计积分路径如右图所示，其内有的奇点 当时，有： ① ②，因为当时，，满足约当引理的条件。 ③ ④而 可以得到： 所以： 4.2-16 解：令，则，其一阶奇点为，考虑被积函 数，设计积分路径如下： ①：满足约当引理条件，即时， 所以； ②： 令，则② 当时，有：② ③： 均为的一阶极点， 则有： 而， 所以 综合考虑①②③有：在内无奇点，故积分值为零。 则有： 4.2-17 解： 所以只需求，的求法相同。 令，奇点为 考虑如右下图所示的回路有： 当时， ① 回路内无的奇点。 所以： ② 所以： ③ 求 因为，所以当时，且 即有： ④ 综合①②③④可得：当时，有 同理可得： 所以： 4.2-18 解：令，因为中含有因子，且，所以为多值函数， 它有两个枝点和，每绕或一圈，辐角增加，就多出 因子，即，从而也多出这个因子。从起沿实轴正向 作切割直向，考虑如下图所示的回路，有： 当时，有 ① ② ③ 所以 ④ ⑤ 所以 综合①②③④⑤可得：当时，有 即： 4.2-19 （在积分路径上根号取正值） 解： 第 14 页 共 14 页 第04章习题.doc