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Ba(八)  代数学的新生概况 曾艳欢 2008101107 1 ,代数方程的可解性与群的发现p208 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。 一、二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。 当拉格朗日宣称“不可能用根式解四次以上方程”后半个世纪，其猜测终于在1824年由来自挪威的年青数学家阿贝尔完全证实。阿贝尔在粉粹了人们对根式求解五次以上代数方程的奢望之后，并没有忘记给出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。在此过程中，阿贝尔已在实际上引进了“域”这一重要的近世代数思想。 然而数学家们并不满足，他们又开始追问：究竟什么样的特殊方程能够用根式来求解？在其1829-1831年间完成的几篇论文中，一位同样年青的法国数学家伽罗瓦对此做出了解答。 是将一个n 次方程 的 n个根 作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。我们以四次方程的四个根 为例，在包含这些 的任何表达式中交换 和 就是一个置换，用 来表示。 另一个置换用 表示。第一个置换后再实 行第二个置换，等价于实行第三个置换 我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换，即 。对于四次方程的情形，易知共有4！=24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义，不过它只是针对一个具体的群（置换群）所作的定义，还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在叫方程的“基本域”，并记为 ,Q为有理数域， 是方程的系数，但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群，这些置换保持方程的根以F的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念p210 ~p211 需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但他的思想却远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。 ****伽罗瓦之后，数学家们逐渐认识到“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群。到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。 群理解为一类集合，经过运算，这种运算有3个性质：封闭性：2结合性;3……4……p213 在19世纪末，群论已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。? ? 代数学由于群的概念的引进和发展而获得新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象对象的运算关系，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。 　 2 ,从四元素到超复数 四元数的发现是伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。当数学家们在19世纪初开始接受复数的几何表示之后，他们意识到复数可以用来表示和研究平面上的向量。而且这种表示有一个很大的优点，那就是，人们从此不必几何地作出向量运算，就能通过代数的方法研究它们。然而事实却使数学家们很快发觉，他们无法在三维情况下找到复数的一个类似物。在寻找复数三维推广的数学