第4节 弦割法.pptVIP

§4 弦截法（割线法） 一、双点弦截法 二、单点弦截法 第八章 总 结 二 分 法：根的存在唯一性、计算公式及精度控制 一般迭代法：迭代法的构造、收敛性和局部收敛性定 理、收敛阶、精度控制 牛顿迭代法：迭代公式、局部收性与收敛阶、几何意 　　　　　　　义 弦 截 法：双点弦截公式与单点弦截公式、几何意 义、收敛性与收敛阶 算法的程序： 各个算法的程序设计 第八章 练习题 * 对于牛顿迭代法 当 f ′ (x) 不存在时，可以用 作近似代替,得到 并称其为双点弦截法。 其几何解释为： 令 y=0, 解得： x0 x y o a b x* x1 x2 (x0 , f(x0)) (x1 , f(x1)) x3 在曲线上任取两点(x0 , f(x0))、 (x1 , f(x1))，作割线，方程为 再过两点(x1 , f(x1))、 (x2 , f(x2)) 作割线，得割线方程： 再令 y=0, 解得： 以此类推，最后得到的近似解 x0 , x1 , x2 , … 越来越靠近 x*。 x0 x y o a b x* x1 x2 (x0 , f(x0)) (x1 , f(x1)) x3 在曲线上过两点(x0 , f(x0))、 (x1 , f(x1))作割线，方程为 令 y=0, 解得： 再过两点(x0 , f(x0))、 (x2 , f(x2)) 作割线得割线方程： 再令 y=0, 解得： x4 以此类推，可以得 到单点弦截公式： 这样，针对方程 f(x)=0 ，具有两种弦截公式： 另外关于弦截法，有下面的收敛性定理： 双点弦截公式： 单点弦截公式： 定理8.3 如果函数 f(x) 在零点x*附近二阶连续可微， f’(x*)≠0, 且初值x0、x1 充分接近x* ，则弦截法迭代过程 收敛，收敛速度为： f’(x)=3 x2-2在[2,3]上严格单调，所以方程在[2，3]内有唯一实根。 例8.8 对于 x3-2x-5=0 , 试构造出双点弦截公式求解. 取初值 x0=3 , x1=2 , 可以求得 x2=2.058823529 . 或 解：令 f(x)= x3-2x-5 ，则有 f(2)= -1, 　f(3)=16, 又知 得到： 这样，由双点弦截公式 1. 证明方程 1-x-sinx=0 在[0,1]上有一个根。使用二分法求误差不大于1/2×10-4 的根，需要迭代多少次？ 2. 使用二分法求2x3-4x2-2=0 的实根，准确到两位小数。 3. 构造收敛的迭代法求出 9x2-sinx-1=0 的在[0,1]内的一个实根，并说明所构造的迭代法收敛的理由。 4. 用牛顿迭代法于 xp-c=0 , 导出求正整数 c 的p次根的迭代法。 5. 用弦割法求 x3-3x-1=0 在x0=2 附近的根，取x0=2，x1=1.9 , 算至四位有效数字 *