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高三数学开学考试（理） 考试时间：100分钟 满分：150分 一、选择题共8小题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．若全集，集合，，则集合 A． B． C． D． 2.“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A．1 B．2 C．4 D．6 4．函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点），则＝ A．100 B．101 C．200 D．201 7．如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为 A． B． C． D． 8．已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题： 数列具有性质； 数列具有性质； 若数列具有性质，则； 若数列具有性质，则. 其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是10．已知，则 11．已知，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为1，则的值为-2。 12．由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积是ln2 13．用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是。 14．定义运算，若数列，则10；数列的通项公式是。 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本题满分13分）已知=，=()，函数. （）求的最小正周期； （）求在区间上的最大值和最小值。 解：（）因为 所以的最小正周期为 （）因为 于是，当时，取得最大值2； 当取得最小值-1. 16．（本题满分13分）如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”例如，数列与数列都是“对称数列” （）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项； （）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和； 设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和 解设数列的公差为，则，解得 ， 数列为． …………7分 (Ⅲ)．由题意得 是首项为，公差为的等差数列． 当时， ． 当时， ．综上所述， 17．（本题满分13分）中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．与； （Ⅱ）证明：． 解：（）设的公差为， 因为所以 解得 或（舍），．………3分 故 ，． ………6分 （）因为， 所以． ………9分 故 ． ………11分 因为≥，所以≤，于是≤， 所以≤． 即≤． ………13分 是定义在上的奇函数，且，若， 有. （Ⅰ）判断的单调性，并加以证明； （Ⅱ）解不等式； （Ⅲ）若对所有，恒成立，求实数的取值范围。 解：任取，且，则 由题意 因为为奇函数，所以 所以，即 所以在上单增 …………分 （）由题意， 所以，. ………… 分 （）由在上单增， 由题意，， 即对任意恒成立 令， 则 所以或或 综上所述，或或 …………1分 19. 已知函数。（）求的单调区间；（）若对于所有的成立，求实数的取值范围。 解：（）定义域为，…………3分 即时，恒成立； 有两不等实根 ， 且若恒成立， 若，则，在，在上，在上， 综上，当时，在 上单增， 当时，增区间为 减区间为…………8分（），，对恒成立。 设，则， 当时，恒成立， ∴恒成立，， …………14分20．（本题满分13分）已知数列各项均为正数，，且对于正整数时，都有。（）当，求的值，并求数列的通项公式；（）证明：对于任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。 解：（）令，则 将代