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不连续边值问题的相邻两个特征值差与比的最优界估计 姓 名： 学 号： 学 科： 所在院系： 指导教师： 主要内容 一、选题的科学意义和应用前景 二、背景科研项目情况简介 三、学位论文主要研究内容 四、我们主要使用的技术 五、文献综述 一、选题的科学意义和应用前景 　　正则Sturm-Liouville问题的研究历史悠久，S-L问题的深入研究对充分揭示所对应的物理现象和规律有重要意义。在量子力学中，它是描述微观粒子状态的基本数学方法。一般来说，粒子的跃迁总是从一个能级到相邻能级，或者一次性跨越若干个能级，且只有当粒子吸收或者释放的能量刚好等于两个能级之差时，跃迁过程才会发生。微观粒子不同于宏观物质，粒子跃迁过程是吸收还是放出能量取决于粒子是由低能级向高能级跃迁， 还是由高能级向低能级跃迁。边值问题的特征值　　对应着系统的能量，而一个系统的前两个特征值以及相邻的两个特征值尤为重要，因为前两个特征值的差与比在某种程度上反映能量跃迁的大小及特征值的分布，因此在数学上求出特征值是一件有意义的工作。但一般来讲，特征值的精确值很难求出，因此只好退而求之，给出特征值之间“间隙”的最优估计。 自上世纪八十年代以来，对正则S-L问题前两个特征值的差与比的最优界的估计大多数都在连续边界条件中研究的，给出了一些很好的结果。我们拟考虑具有不连续边界条件的S-L问题，不连续边值问题通常描述地壳运动的规律等。设法借鉴前人的方法，给出不连续边值问题的相邻两个特征值差与比的最优估计。 二、背景科研项目情况简介 上世纪八十年代,Keller, Lavine,Huang和Horvath做了大量的工作来估计正则Sturm-Liouville问题的前两个特征值差与比的最优下界。我们先给出这些结果的简单总结。主要用变分法和分析的方法得到以下结果： 具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子前两个特征值差的最优估计的一些研究结果： 具有Dirichlet边界条件的振动弦方程　的前两个特征值比的最优估计的一些研究结果: 具有不连续边界条件的Sturm-Liouville问题的一些结果： 具有不连续条件的Sturm-Liouville问题描述地壳运动问题。在低地幔和剪切波的速度分布给定下，它的密度函数可由固定角顺序的扭转模式的特征频率唯一确定。这类问题已有一些研究，如已经证明若已知半区间上的势函数并且其中一组谱给定，那么这些数据可以唯一确定整个区间上的势函数，以及不连续点的位置和特征函数的跳跃间断点同样唯一确定。虽然这类问题的大特征值估计已有结果，但是前面几个特征值还是未知的。 未解决问题： (1)　具有一般分离型边界条件的Sturm-Liouville问题及弦问题的前两个特征值差与比的最优估计，及相邻特征值差与比最优估计 ； (2)　区间内部具有不连续点的Sturm-Liouville问题相邻两特征值差与比的最优估计。 三、学位论文主要研究内容 四、我们主要使用的技术 （1）不连续边值问题的初始解估计 （2）不连续边值问题特征值方程的建立 （3）运用变分法及复分析技巧研究超越方程的根的分布 （4）特征值的数值计算 五、文献综述 　　具有连续条件Sturm-Liouville算子前两特征值差与比问题的研究历史悠久，所包含的内容非常丰富，吸引许多学者专注于该方面的研究，并取得了一些成果，同时也满足了物理学、化学、数学等方面的需要。特别地，薛定谔方程的特征值对应于系统的能量，薛定谔算子第二特征值与第一特征值的差对应于粒子从第一能级跃迁到第二能级所需吸收的能量。粒子的跃迁是一个范围很广的研究领域，随着研究的深入，它由于各学科结合并衍生出许多分支，特别是数学与物理领域中量子力学方面，同时也出现了从不同角度分析问题的方法。 　　国内外学者在不同条件下研究了S-L算子前两个特征值的差与比，如Neumann边条件下薛定谔算子前两个特征值间距的估计，Dirichlet边条件下弦振动方程前两个特征值比估计的研究。关于Sturm-Liouville算子前两个特征值估计已经取得了一些成果,主要结果见下表： 　　我们将研究不连续边值问题的相邻两个特征值的差与比的最优界的估计。不连续边值问题的前两个特征值的精确值很难求解，而这类问题在地球物理中又比较重要，因此准备研究不连续边值问题前两个特征值的差与比的最优界的估计，进一步研究相邻两个特征值的差与比的最