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数学期望的理论和应用 数学期望的理论和应用 学 科： 数 学 课 程： 《概率论与数理统计》 学 校： 西安财经学院行知学院 教 师 ： 吴 博 峰 数学期望简单又直观地反映随机变量取值的平 均水平，为进一步的决策分析提供科学的理论依据， 广泛应用于金融经济、社会研究、医学检测等领域， 是人们使用最为广泛的一个数学知识。 简 介 数学期望起源 一 据说早在1654年，法国有一个贵族公子梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题 A赌徒 A赌徒已掷出了2次“6点”， B赌友也掷出了1次“6点”， B赌徒 规定：谁先掷出3次“6点”就算赢对方 赌金分配问题 30个金币 30个金币 意外发生了！ 赌博中断了！ 问：如何分配这60个赌金？ 观点一：按当前赌博输赢的比例分配 观点二：按继续赌博输赢的概率比例分配 A赢2局，B赢1局 A得40，B得20 A得45，B得15 A赢概率 ，B赢概率 赌金分配问题 投资回报问题 赢：收益翻倍 输：血本无归 影响投资回报因素 （1）投资的预期结果有哪些、 数额是多少 （2）每种结果出现的概率多大 以平均值为依据 计算出投资的预期结果的概率平均值，将之作为投资预期回报的参考。 我们的思考 60个金币 解: 分别表示A、B赌徒获得的赌金 赌金分配方案 60 0 60 0 结论： 一般地,若离散型随机变量的概率分布为 离散型随机变量数学期望定义公式 二 则称 为 的数学期望. 数学期望实质------随机变量取值的概率平均值 三 知识回顾：平均值的计算 例：7个1和3个0一共10个数，它们的平均值是多少？ 方法一：总和除以总个数 方法二：加权平均 0 1 P 例 说明：由观察分析，我们发现随机变量的数学期望 实质就是以概率为权重的平均值，因此，它反映了 随机变量取值的平均水平。 简单应用 四 投资决策问题 年利息为5%，即以概率1获得利息收益5万元 存 银 行 投 股 市 形势好获利30万， 概率30%； 形势中获利15万， 概率50%； 形势差亏损20万， 概率20%。 100万元投资 100万一年收益的数学期望为 100万一年收益的数学期望为 存银行 投股市 决策：资金投在股市的收益的概率平均值远远大于存银行的收益，所以应把100万资金投入股市。 收益的数学期望 收益的数学期望 拓展提高 五 已知某种疾病的发病率为千分之四，某大学对5000个在校生进行普查，为此需要检验每个人的血液是否感染该种病毒，若逐个检验就需要检验5000次。有人提出用分组检验的办法可以减少检验的工作量，例如把5000人分成20人一组，将这20个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果不含有病毒，说明这20个人都不患有该种疾病；若检验的结果含有病毒，则对这20个人再进行逐个检验。试用数学期望理论证明这种分组检验的办法能够有效减少检验的工作量。 对这5000人进行分组检验，每组20人，将这20人的血样混合，若检验结果不含病毒，则这20人总共检验1次，相当于每人 次，若检验结果含病毒，则再逐个检验，即共需20+1=21次，相当于每人需 次，因此，每个人需要检验次数 的概率分布为： 分析： 每人的平均所需检验次数 的期望为： 5000人所需检验次数 因此 用分组的方法5000个人所需检验次数的期望为635次，远远低 于逐个检验的5000次，分组的办法极大地减少了检验的工作量。 结论： 课后思考： 是否存在其它分组方法 使检验次数最少？ 数学期望的理论和应用