第九章常微分方程-2.ppt

§11.2 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 二、齐次方程 四、可化为一阶微分方程的特殊类型 类型2 伯努利方程 例5 求解微分方程 解 令 再令 两边积分后得 变量还原得 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. * * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 为可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 （1） 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例2 求解微分方程 解 两端积分 于是原方程的特解为： 解 由题设条件 衰变规律 解 例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式有 可分离变量的方程 1.定义 齐次方程 可分离变量方程 变量代换 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 例 3 求解微分方程 解 以x为未知函数 代入上式得： 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 三、一阶线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解(一) 直接利用公式 例1 解(二) 常数变易法 10 先求对应的齐次方程的解 两边积分得 即 20 常数变易 例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 同学们自己用常数变易法做做 可化为为齐次方程或变量分离方程 （其中h和k是待定的常数） 2.解法 1.类型1 有唯一一组解h,k.使得上式成立。 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 解 代入原方程得 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为