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第三章 插值法 第三节 均差与牛顿插值公式 Newton型多项式插值 Newton型多项式插值 解： * * ， k = 0, 1 ,?, n . 过n +1个节点，满足插值条件：L j( xj)= yj(j=0,1,?, n )的n次插值 插值 基函数 多项式Ln(x)： 拉格朗日插值 优点：结果清晰、紧凑，适用于作理论分析、应用 缺点：增加一个节点，所有的基函数都要重新计算 其中 为待定系数，可有插值条件确定 把插值多项式写成： 得到： 均 差 已知y = 函数表 则 在 上平均变化率分别为： 即有定义： 定义为f(x) 的均差 均差与牛顿插值多项式 定义 为函数 在 的一阶均差（一阶差商）； 称为y = 在点 的二阶均差（二阶差商）； （3）一般由函数y= 的k－1阶均差表可定义函数的k阶均差。 称为函数y= 在 点的k阶均差（k阶差商）。 ，称 （1）对于 的一阶均差表，再作一次均差，即 （2）由函数y= 即 k－1阶 均差 定义 均差 一阶均差 二阶均差 k 阶均差 三阶均差 均差表 计算顺序:每次用前一列同行的均差与前一列上一行的均差再作均差 k 阶均差 关于节点 是对称的，或说 均差与节点顺序无关，即 例如： 共6个 的线性组合，即 的k阶均差 是函数值 均 差 性质1 分析 ： 当k =1时, (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) 证明： （1）当k =1时, 均 差 均 差 性质2 由k阶均差的定义和性质1推出 性质3 均 差 阶导数存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式 n+1阶均差函数 导数 其中 且 为包含 区间. 依赖于 则n 阶均差与导数 的关系为 其中 n +1阶均差函数与导数的关系 定理 已知 函数表, 由均差定义及对称性，得 牛顿插值多项式的推导 牛顿插值多项式 将(b)式两边同乘以, 抵消 抵消 抵消 (d)式两边同乘以 ,把所有式子相加,得 ,(c)式两边同乘以 牛顿插值多项式 记 --- 牛顿插值多项式 --- 牛顿插值余项 可以验证 ，即 满足插值条件。 牛顿插值多项式 一阶均差 二阶均差 k 阶均差 三阶均差 均差表 计算顺序:每次用前一列同行的均差与前一列上一行的均差再作均差 3 9 2 4 1 1 f[xi,xi+1,xi+2] f [xi,xi+1] f [xi] xi N2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.69992 + (x- x0) (x-x1) f[x1,x0,x] + (x- x0) f[x1,x0] =f(x0) N(x) 例：已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 xi f(xi) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 例 已知 x=0, 2, 3, 5 对应的函数值为 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多项式。 ∴ 所求的三次Newton插值多项式为 * * *