第九章9.1矩阵的概念和运算.pptVIP

二. 矩阵的运算 * * 线性代数 简介 线性代数是数学的一个分支，主要处理线性 关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以 一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上 直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三 元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两 个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个 未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次 的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。 解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成， 然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上 就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的 线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学 著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的 叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组 的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展 . 参考书目: 高等代数 (第三版), 北京大学数学系代数 与几何教研室代数小组编, 高等教育出版社,2003 2.线性代数(第五版), 同济大学数学系编, 高等教育出版社, 2003 例1.某班同学成绩单 89 88 82 78 陈水扁 69 99 56 92 张曼玉 72 98 61 65 周星驰 地理 外文 数学 国文 姓名 矩阵是现实生活中数据表格的抽象表示 奥巴马 蒋介石 78 69 87 68 88 71 73 91 第九章 矩阵 9.1 矩阵的概念与运算 成绩单中的数据随学期而变,为便于研究， 可用数表表示: 例2.某航空公司在四城市之间的航线图: (√ 表示有航班): 把表中的√ 改成１,空白地方填上０,就得到一个数表: 新乡 伊朗 天水 上海 该数表反映了四城市间航班开通情况, 航班的调整可通过表格进行. 为清楚起见，用下面的表来表示 天水 伊朗 新乡 上海 出发 天水 伊朗 新乡 上海 到达 1.5 2 2.4 1.4 周日 1.5 1.9 2.3 1.6 周五 1.6 1.8 2.5 1.5 周一 香蕉 板栗 葡萄 苹果 2.1 2.5 2.9 1.9 周日 2.1 2.3 2.9 2.1 周五 2.1 2.3 3.5 1.9 周一 香蕉 板栗 葡萄 苹果 例3. 某超市部分水果价目表 进货价 销售价 价格的变化通过数表来反映;赢利情况可通 过对上述数表的运算得到. 一. 矩阵的概念 1.定义 排成的 m 行 n 列的矩形数表 个数 可简记为： 行标 列标 称为矩阵　的　　　元素. 　　　矩阵. 称为 可用圆括弧 或方括弧! 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 2.同型矩阵与矩阵相等 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 例如 为同型矩阵. 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 例4 设 解 例如 是一个3 阶方阵. 3.几类特殊矩阵 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 不全为0 记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同型的零矩阵是不相等的. 例如 (5)方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 1.矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 矩阵加法的运算规律 2.数与矩阵的乘积(数乘) 数乘矩阵的运算规律 矩阵加法与数乘,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 形如 的方阵称为纯量矩阵. 3.矩阵的乘法 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例6