第三章--离散傅立叶变换--总结.ppt

3-7、用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的问题 为 了 能 在 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频 谱, 常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 但 同 时 也 产 生 以 下 问 题: 混 叠 现 象 频 谱 泄 漏 栅 栏 效 应 1、混 叠 现 象 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠 失 真, 要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则： fs≥2fh 其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束. 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度的 倒 数, 即 Tp = 1 / F 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F = fs / N ≥2fh /N 混叠现象的结论 由F=fs/N≥2fh/N看出： 在N给定时,为避免混叠失真而一味提高抽样频率fs,必然导致F增加,即频率分辨力下降; 反之,若要提高频率分辨力即减小F,则导致减小fs,最终必须减小信号的高频容量. 以上两点结论都是在记录长度内抽样点数N给定的条件下得到的. 所以在高频容量fh与频率分辨力F参数中,保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法, 就是增加记录长度内的点数N,即fh和F都给定时, 则N必须满足N≥2fh/F这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足的条件。 例子--1 有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： （1）频率分辨力≤10Hz （2）信号的最高频率≤4kHz 试确定以下参量： （1）最小记录长度Tp； （2）抽样点的最大时间间隔T； （3）在一个记录中的最少点数N。 解： （1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp. Tp=1/F=1/10=0.1(s) 故最小记录长度为0.1秒。 （2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3 (s) (3)最小记录点数N，它应满足 N≥2fh /F=800 该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够） 2、栅 栏 效 应 利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 其 频 谱 将 不 再 是 连 续 函 数 而 是 基 频 F 的 整 数 倍。 用 DFT 计 算 频 谱, 就 如 通 过 一 个 栅栏观 看 一 个 景 色, 只 能 在 离 散 点 的 地 方 看 到 真 实 的 景 象, 从 而 产 生 栅 栏 效 应. 如 果 在 两 离 散 的 谱 线 间 频 谱 有 很 大 变 化, 不 作 特 殊 处 理, 则 无 法 将 其 检 测 出 来. 减 小 栅 栏 效 应 的 方 法 减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点, 使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据. 这种方法 等 效 于 加 长 了 周 期 Tp . 因 公 式 F = 1/ Tp (F是 抽 样 间 隔). Tp 增 加, 抽 样 间 隔 变 小, 从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变 密, 也 就 使 频 谱 抽 样 点 数 增 加. 这 样, 原 来 看 不 到 的 频 谱 分 量 就 有 可 能 看 到 了. 补零加长使谱线细化 在DFT与Z变换的关系一节中,我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的. 补零加长 谱线细化 减 小 栅 栏 效 应 注 意 点 补 加 零 点 以 改 变 周 期 时, 所 用 窗 函 数 宽 度 却 不 能 变, 亦 即 必 须 按 数 据 记 录 原 长 来 选 择 窗 函 数, 而 不 能 按 补 了 零 值 点 后 的 长 度 来 选 择 窗 函 数. 通 俗 地 说, 就 是 应 先 加 窗, 再 补 零. 具体做法在后续 3－8中有述。书P103－ 例子 画出x(n)=1, 0 ≤ n ≤ 3, x(n)=0, 其它n时 的4点DFT，